共轭函数及其性质

一、定义

共轭函数（conjugate function）亦称对偶函数：如果$f:R^n\to R$是一个函数，那么$f$的共轭函数：
$$\begin{array}{r}{f}^{\ast }(y)=\underset{x\in dmff}{\sup }(y^{T}x-f(x))\end{array}$$
其中$f^{\ast }(y)$的定义域是使得等式右边有上界的那些y。

二、性质

1. 共轭函数$f^{\ast }$是一个凸函数
2. 如果$g$是$f$的凸闭包，那么$g^{\ast }=f^{\ast }$
3. 对一般的函数$f$，$f^{\ast \ast }\le f$
4. 如果$f$是一个凸函数，那么$f^{\ast \ast }=f$
5. Fenchel不等式（当$f$可微时亦称为Young不等式）：$f(x)+f^{\ast }(y)\ge x^{T}y$
6. 如果$f$是凸函数而且可微，那么$f^{\ast }(y)=x^{\ast T}▽f(x^{\ast })-f(x^{\ast })$，其中$x^{\ast }$满足$▽f(x^{\ast })=y$
7. 如果$g(x)=f(Ax+b)$，则$g^{\ast }(y)=f^{\ast }(A^{-T}y)-b^T{A}^{-T}y$
8. 如果$f(u,v)=f_1(u)+f_2(v)$，那么$f^{\ast }(w,z)=f_1^{\ast }(w)+f_2^{\ast }(z)$

三、证明

1）性质3的证明：

2）性质4的证明：

原文链接：【数学基础】第十九课：凸优化进阶