POJ2115 （扩展欧几里德）

刚看完题后，没有想到要用欧几里德算法求解，觉得只是道简单的数论。后来发现问题了，就开始找原因。

解题思路：这道题和POJ1061（青蛙约会）一样，都是同余方程的求解，用到了拓展欧几里德算法。而本题题意明确，就是求解这个公式：(a+c*x)mod2^k=b ，求得x 的最小解。变形后可得：c*xmod2^k=b-a，即 c*x=(b-a)mod2^k; 这就是标准的同余方程。

注意：k <=32 ，而 2的 32次方超出整数范围，所以要用__int64或long long ，就不会出现runtime error了。

其实数论真得很神奇，一变形就是我们所熟悉的知识。看来还是我见得少，练得少，下次一定要长点儿心了，像这样的题不能说不会吧！

代码如下：

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 1  #include < stdio.h >
 2  __int64 f( int  k)  // 求2 的 k 次方
 3  {  // 注意：k超过30位整型要用64位
 4      __int64 sum = 1 ;
 5       for ( int  i = 0 ;i < k;i ++ )
 6          sum *= 2 ;
 7       return  sum;
 8  }
 9 
10  __int64 exGcd(__int64 a,__int64 b,__int64  & x,__int64  & y) // 拓展欧几里德算法
11  {
12     __int64 d,t;
13      if (b == 0 ) { x = 1 ; y = 0 ;  return  a; }
14     d = exGcd(b,a % b,x,y);
15     t = x; x = y; y = t - a / b * y;
16      return  d;
17  }
18  int  main()
19  {
20       __int64 a,b,c,x,y,d,r;
21        int  k;
22        while (scanf( " %I64d%I64d%I64d%d " , & a, & b, & c, & k))
23       {
24            if (a == 0 && b == 0 && c == 0 && k == 0 )
25                break ;
26           d = exGcd(c,f(k),x,y);
27            if ((b - a) % d != 0 ) printf( " FOREVER\n " );
28            else {
29              x = x * (b - a) / d;
30              r = f(k) / d;
31              x = (x % r + r) % r;
32              printf( " %I64d\n " ,x);
33           }
34       }
35        return   0 ;
36  }