量子运算-比算子描述更广泛的一类刻画量子态在客观世界演化的数学工具

参考链接：1.1 量子运算 - 知乎 (zhihu.com)

一个量子操作（包括量子测量和量子信道）指的是把一个密度矩阵变成另一个密度矩阵的变换，一般记为

背景

• 演化算符是酉的。这里考虑考虑特殊的演化-测量。测量对应的算子是投影算子，投影算子不是酉的。

• 并且由投影算子集合{pi}和量子态

构造出的测量演化算子也不是酉的。

系数是归一化条件所确定的，我们可以由投影算子的非酉性很快发现这个构造出的测量演化算子的非酉性。（测量演化算子还不是很清楚，）

• 难道测量不符合大自然的演化吗？

因为在测量的过程中，我们会不可避免的导致我们的量子系统和环境产生\破坏纠缠，因此当我们在对我们的量子系统进行测量时，我们实际上是在测量一个更大的量子系统经过演化后的一部分。 换句话说，这整个纠缠起来的大系统的演化是酉的，而我们只研究了这个大系统的一小部分的演化，而只看这个小系统的演化，它的演化算子是非酉的。

用数学语言描述

U对应更大空间的一个算子，Q1Q2对应两个子系统的算子。U是酉的，Q1Q2也不必是酉。

再次强调： 对于完整的量子系统，其演化算子必定是酉的，而若我们的量子系统属于一个更大量子系统的一部分，则这个系统的演化算子则不必是酉的。

总结：当我们考虑环境对量子系统的作用时，我们原先的薛定谔方程以及使用酉算子来描述演化的数学模型已经完全不起作用了，而当我们要研究量子纠错时，将会不可避免的遇到环境对量子系统的作用的情况。为了解决这个问题，我们必须使用一套新的数学模型即描述方式，即——量子运算。

量子运算

1. 因为我们在实际情况下碰到的不一定都是纯态，所以从这里开始我们使用密度算子来代替量子态来进行说明。我们将会用到一个名为偏迹的数学工具，偏迹是描述只对量子系统中的某个子系统进行观测时的数学工具。

量子运算是比我们使用的算子描述更广泛的一类刻画量子态在客观世界演化的数学工具，我们可以将量子运算看作是一个简单的映射，代表一个密度算子经过某些变换后得到了另一个密度算子，即

可以写成以密度算子和偏迹来表示的形式

这个式子的含义就是在对整个量子系统演化之后，我们去除掉环境的部分只看我们关心的量子系统的变化。这个形式中存在着一个几乎完全无法确定的环境

在我们无法了解整个量子系统的密度算子

时，我们不可能给出这个映射的具体形式，这给我们计算带来了巨大的不便，为了得到一个更明确的表达式，我们可以将这个式子改写成更容易看懂的形式。

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2. 假设环境的密度算子是混合态

为一组下标为 i 的环境系统的标准正交基)。

原式变为

（这一公式不太理解？k是什么）可能是由于环境的密度算子是混合态？？？

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3. 可以写成以下形式，也就是量子运算：

其中

这个公式就是量子运算的算子和表示，而

称为量子运算

的运算元

到这里量子运算基本就介绍结束了。如果有兴趣的话，对于有些细节，以及公理化表示可以，可以继续阅读。

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细节1运算元的表示。

内积对应得到的一个算子，因为 U是更大系统的一个算子,而

是这个系统的子系统中的一组基，所以作内积得到的是一个算子

。为了表示的更清楚，我们设除去这个环境系统外在我们研究的量子系统中还有一组标准正交基

。可以将算子

下表示的矩阵元写成以下形式

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细节二在这里验证完备性条件。

这个条件确定了我们的量子运算对于任意密度矩阵，演化出的必定是新的密度矩阵，并且迹不变，因而这类量子运算被我们称为保迹量子运算。

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细节3 保迹量子运算和非保迹量子运算

由于量子运算公式的一般性，也存在不满足完备性关系的量子运算，这种时候我们将其称为非保迹量子运算，非保迹的量子计算对应于仅在演化中通过特定测量得到某些特殊信息的情况。由于非保迹量子运算可以通过扩张运算元集合构造出保迹量子运算，并且会影响理解，所以我们后面只会研究保迹量子计算。很明显，我们可以发现在最初由酉算子 U 描述的演化是很明显的保迹量子运算，并且只有一个运算元

，也满足完备性关系，因此可以发现量子运算是比算子更强大的描述量子态演化的工具。

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量子运算的公理化表示

最后给出量子运算公理化的表示：

保迹量子运算

作为映射，应该拥有以下三条性质。

这三条性质是三个物理要求所给出的公理化条件，其中A1对应于保迹量子运算的要求。A2对应于因果律，即对于相互之间没有纠缠的混态来说，作用于整体的量子运算等于作用于不同纯态分量的量子运算之和(没有纠缠的子系统之间演化不会互相影响)。A3对应于要求

是有效且可存在的，因为所有的密度算子都是半正定矩阵。为了确保量子运算有效，无论加上多少不变的附加系统，量子运算

都必须得到一个可能存在的密度算子。