从零开始图形学 | 线性代数的中的点乘和叉乘

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线性代数在图形学中的应用：

Dot Pruduct 点乘

点乘可以用来计算两个单位向量的夹角，两个模为1向量的点积，获得的值即为 cosθ。如下

点乘

这个夹角值可以用来
1.描述两个向量是否足够接近；
2.解构向量（通过一个向量在另一个向量的投影分量）；
3.判断是正向还是背向；

应用栗子：
金属反射的Specular影响阈值，当视线在光源反射的一定范围内就可以观察到，这个范围就是反射光线和视线的夹角。

点乘在笛卡尔坐标系下的计算方式

Cross Pruduct 叉乘

叉乘计算是遵循右手螺旋定则的，在OpenGL里也是右手，然而在DirectX大部分是都是左手，这也解释了为什么Substance要经常翻转法线。

需要说明的是，叉乘返回的结果是向量，所以当向量叉乘自己时，虽然sin0 = 0, 返回的依然是0向量。
两个向量的叉积可以用来
1.判断向量的左右方向：正交坐标系，如果a叉乘b和 y是同向，则a在b左边
2.判断点在面的内外：假如任{意点P和某顶点组成的向量}叉乘 {顺时针 或者 逆时针 顶点组成的各个向量}，返回的结果如果显示P都在三个向量的同一侧，则P点在面内。这个可以延伸到碰撞检测或者命中算法，以及三角形光栅化的理论基础，通过判断像素是否在三角形的内部，从而得出三角形覆盖了哪些像素。

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Matrix 矩阵

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注：3行2列和2行3列是可以运算的， 但是3行2列和3行4列就不行了。
某行某列矩阵运算的结果就是 {第一个矩阵的行} 点乘 {第二个矩阵的列}，例如
第一个？处在1行2列，= 1x6+3x7 = 27
第二个？处在3行4列，= 0x4+4x3 = 12

这里可以用矩阵的方式来描述点乘和叉乘

另一种计算方式

当两个矩阵相乘结果是单位矩阵（对角阵）时，就称一个矩阵为另一个矩阵的逆

互逆矩阵