洛玖言
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初边值问题的分离变量法

初边值问题的分离变量法

考察波动方程的初边值问题

先求方程①的可以分离变量的非平凡(即不恒等于零)的特解：

带入方程①可得

上式分离变量得

左边仅是 得函数，右边仅是 的函数，需要等于同一个常数，记为 ，于是

又有边界条件知
求非平凡解：

  • 当 时
    ② 的通解可以写成



    由于
    时得不到非平凡解.
  • 当 时
    ② 的通解可以写成

    可知 也恒为零.
  • 当 时
    ② 的通解可以写成

    由边界条件知


    于是得到一族非零解

    由此可得 的通解为

    其中 为任意常数
    由此就得到了满足奇次边界下分离变量形式的特解：

    这边 和其他两个常数结合成了常数.
    由此得到

    由初值问题得

    由初始条件

    知

    因此， 和 应分别是 和 在 区间中正弦展开得傅里叶级数的系数，即
    \begin{aligned} \begin{cases} \displaystyle A_{k}=\dfrac{2}{l}\int_{0}^l\varphi(\xi)\sin\dfrac{k\pi}{l}\xi\text{d}\xi\\ \displaystyle B_{k}=\dfrac{2}{k\pi a}\int_{0}^l\psi(\xi)\sin\dfrac{k\pi}{l}\xi\text{d}\xi \end{cases} \end{aligned}
    求得 ，带入③就得到了初边值问题的解.

初边值问题


其中

初边值问题：

Sol：
\begin{aligned} \begin{cases} u_{tt}-a^2u_{xx}=0\\ t=0:\;u=\varphi(x),u_{t}=\psi(x)\\ u(0,t)=u(l,t)=0 \end{cases} \quad \begin{cases} u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t)\\ t=0:\;u=0,u_{t}=0\\ u(0,t)=u(l,t)=0 \end{cases} \end{aligned}
的解为 ，知原初边值问题的解为

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