初边值问题的分离变量法

初边值问题的分离变量法

考察波动方程的初边值问题

先求方程①的可以分离变量的非平凡(即不恒等于零)的特解：

带入方程①可得

上式分离变量得

左边仅是得函数，右边仅是的函数，需要等于同一个常数，记为，于是

又有边界条件知
求非平凡解：

当时
② 的通解可以写成

由于
时得不到非平凡解.
当时
② 的通解可以写成

可知也恒为零.
当时
② 的通解可以写成

由边界条件知

于是得到一族非零解

由此可得的通解为

其中为任意常数
由此就得到了满足奇次边界下分离变量形式的特解：

这边和其他两个常数结合成了常数.
由此得到

由初值问题得

由初始条件

知

因此，和应分别是和在区间中正弦展开得傅里叶级数的系数，即
$\begin{aligned} \begin{cases} \displaystyle A_{k}=\dfrac{2}{l}\int_{0}^l\varphi(\xi)\sin\dfrac{k\pi}{l}\xi\text{d}\xi\\ \displaystyle B_{k}=\dfrac{2}{k\pi a}\int_{0}^l\psi(\xi)\sin\dfrac{k\pi}{l}\xi\text{d}\xi \end{cases} \end{aligned}$
求得，带入③就得到了初边值问题的解.

初边值问题

其中

初边值问题：

Sol：
$\begin{aligned} \begin{cases} u_{tt}-a^2u_{xx}=0\\ t=0:\;u=\varphi(x),u_{t}=\psi(x)\\ u(0,t)=u(l,t)=0 \end{cases} \quad \begin{cases} u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t)\\ t=0:\;u=0,u_{t}=0\\ u(0,t)=u(l,t)=0 \end{cases} \end{aligned}$
的解为，知原初边值问题的解为

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