42. 接雨水 分治

题解

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1. 分治思路。

   首先我们要找到[left,right]中最高的那个柱子的位置记为maxIndex，把它作为last。

   什么叫last?我们下面体会一下。

   下面我们只需要在[left,maxIndex-1]中找到最高的柱子，位置记为leftIndex，在[maxIndex+1,right]中找到最高的柱子，位置记录为rightIndex，我们这个时候可以res+=leftIndex到maxIndex中间可以装的水+maxIndex到rightIndex中间可以装的水 两个部分。

   找到了之后呢，我们把last设置为leftIndex和rightIndex，代表这是求解[left,leftIndex-1]和[rightIndex+1,right]这两个范围内的最大值了。

   也就划分产生了子问题。

   这里有点讲不清，讲的清楚的话需要大量笔墨，可以看代码，也就是[left,right]的大问题划分成了两个小问题，[left,leftIndex-1]和[rightIndex+1,right]。

2. 时间复杂度分析

   每次计算[left,right]内的最大值时间复杂度为O(n)，因为每次扫描找最大值都可能做了重复的工作，实际应该大于O(n)，但是相当于每次是二分的分割数组，一般来说划分的深度为logn, 所以不会大于$O(nlogn)$，这个区间查询最大值可以用线段树优化，可以降低这部分复杂度。

3. 空间复杂度大抵和时间复杂度的分析类似，实际也类似。

代码

#include 
#include 
#include 
using namespace std;


class Solution {
public:
	int res;
	int n;

	int findMax(int left, int right, vector<int>& height) {
		int maxVal = -1;
		int maxIndex = -1;
		for (int i = left; i <= right; i++) {
			if (height[i] > maxVal) {
				maxVal = height[i];
				maxIndex = i;
			}
		}
		return maxIndex;
	}

	int getSum(int left, int right) {
		return _prefixSum[right + 1] - _prefixSum[left];
	}
	
    // 初始时候last==-1代表这个时候我们需要先求出[left,right]范围中的最大值
    // 只有开始需要求一下[left,right]范围内的最大值
    // 后面的话，把已经求的的最大值最为last参数传递就可以了
	void solve(int left, int right, int last, vector<int>& height) {
		if (left >= right) {
			return;
		}
		int maxIndex;
		if (last == -1) {
			maxIndex = findMax(left, right, height);
		}
		else {
			maxIndex = last;
		}

		int leftIndex = -1, rightIndex = -1;
		if (left <= maxIndex - 1) {
			leftIndex = findMax(left, maxIndex - 1, height);
		}
		if (maxIndex + 1 <= right) {
			rightIndex = findMax(maxIndex + 1, right, height);
		}

		// cout<

		if (leftIndex != -1) {
			res += (height[leftIndex] * (maxIndex - leftIndex - 1)) - getSum(leftIndex + 1, maxIndex - 1);
		}
		if (rightIndex != -1) {
			res += (height[rightIndex] * (rightIndex - maxIndex - 1)) - getSum(maxIndex + 1, rightIndex - 1);
		}
		if (leftIndex != -1 && left < leftIndex - 1) {
			solve(left, leftIndex - 1, leftIndex, height);
		}
		if (rightIndex != -1 && rightIndex + 1 < right) {
			solve(rightIndex + 1, right, rightIndex, height);
		}
	}
	vector<int>_prefixSum;
	void getPrefixSum(vector<int>& height) {
		_prefixSum.resize(height.size() + 1);
		_prefixSum[0] = 0;
		int n = height.size();
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			_prefixSum[i + 1] = _prefixSum[i] + height[i];
		}
	}
	int trap(vector<int>& height) {
        // 返回值
		res = 0;;
		n = height.size();
		// 计算前缀和数组，因为我们要根据两个数字之前比如4,5之间所有数字的和4和5之前产生的空挡的差来计算我们当前4和5包裹的范围内可以存多少的水
        getPrefixSum(height);
        // 递归求解
		solve(0, n - 1, -1, height);
		cout << res << endl;
		return res;
	}
};

// int main() {
// 	vectorinP({ 4,2,0,3,2,5 });
// 	//inP.resize(6);

// 	Solution sol;
// 	sol.trap(inP);
// }