【算法题解】21. 单调栈求解 “柱状图中最大的矩形”

这是一道 困难 题

题目来自：https://leetcode.cn/problems/largest-rectangle-in-histogram

题目

给定 n 个非负整数，用来表示柱状图中各个柱子的高度。每个柱子彼此相邻，且宽度为 1 。

求在该柱状图中，能够勾勒出来的矩形的最大面积。

示例 1:

输入：heights = [2,1,5,6,2,3] 
输出：10 解释：最大的矩形为图中红色区域，面积为 10 

示例 2：

输入： heights = [2,4] 
输出： 4

提示：

• $1<=heights.length<=10^5$
• $0<=heights[i]<=10^4$

暴力解法

核心思想就是获取每个柱子的左右边界。

如下图所示：

第 3 个柱子左边界 left = 3, 右边界 right = 4，高度 height = 5，能够勾勒出的最大矩形面积为 （4 - 3 + 1）* 5 = 10。

第 5 个柱子左边界 left = 3, 右边界 right = 6，高度 height = 2，能够勾勒出的最大矩形面积为 （6 - 3 + 1）* 2 = 8。

循环遍历每个柱子，并计算其勾勒出的最大面积。最后在这些结果中取最大的一个。

代码实现

Java

class Solution {
    public int largestRectangleArea(int[] heights) {
        int n = heights.length;
        int ans = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            int left = i, right = i, height = heights[i];
            while(left - 1 >= 0 && heights[left - 1] >= height){
                left--;
            }
            while(right + 1 < n && heights[right + 1] >= height){
                right++;
            }
            ans = Math.max(ans, (right - left + 1) * height);
        }

        return ans;

    }
}

Go

func largestRectangleArea(heights []int) int {
    n := len(heights)
    ans := 0
    for i := 0; i < n; i++ {
        left, right := i, i
         for left - 1 >= 0 && heights[left - 1] >= heights[i] {
             left--;
         }
         for right + 1 < n && heights[right + 1] >= heights[i] {
             right++;
         }
        ans = max(ans, (right - left + 1) * heights[i])
    } 
    return ans
}

func max(a int, b int) int {
    if a > b {
        return a
    }

    return b
}

复杂度分析

时间复杂度：$O(N^2)$，外层循环 n 次，内层循环每次最多 n 次。

空间复杂度：$O(1)$。

单调栈

暴力解法的时间复杂度为$O(N^2)$，数据超过一定量的时候会超时。我们需要想办法对其进行优化。

我们先考虑一种特殊情况，就是给出的每个柱子的高度都是单调递增的，如下图所示：

那么，每个柱子的左右边界就都是确定的：左边界就是自己的编号 i , 右边界就是最右边的最高的那个柱子 n 。

对应到代码里，即 left = i, right = n - 1，内层寻找左右边界的 while 循环就可以省略掉。

以Java代码为例：

class Solution {
    public int largestRectangleArea(int[] heights) {
        int n = heights.length;
        int ans = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            int left = i, right = n - 1, height = heights[i];
            ans = Math.max(ans, (right - left + 1) * height);
        }

        return ans;

    }
}

而实际情况显然不是上述的单调递增的，但我们可以将实际情况看成是在单调递增的情况下，出现的一个特殊情况。

如下图所示：

1. 当第 5 个柱子出现的时候，破坏了单调递增的特性。
2. 那么对于第 4 个柱子来说，其左右边界就都是 4，因为其左边和右边的柱子都比它矮。其能够勾勒出的最大矩形面积肯定就是其本身的高度。这时我们把第 4 个柱子的最大面积记录下来作为备选答案，然后将第 4 个柱子删掉，并将其宽度合并到第 3 个柱子和第 5 个柱子中的高的那个上，因为最高的那个柱子的宽度会影响所有柱子的答案。
3. 因为第 3 个柱子的高度任然比第 5 个柱子要高，所以依然不满足单调递增。这个时候第 3 个柱子能勾勒出的最大面积其实也已经确定，同计算第 4 个柱子是一样的，需要注意的一点就是第 3 个柱子的宽度已经不是 1 了。
4. 如果前面还有其他柱子的高度高于第 5 个柱子，同样需要计算其最大面积作为备选答案后将其删掉，并将其宽度合并的前一个和新增柱子中高的那个上，直到最后前面所有的柱子都没有新增的柱子高了，加入新增的柱子。
5. 当新增的柱子和当前最高的柱子一样高的时候，直接将最后一个柱子的宽度加 1 。
6. 最终得到的是一个单调递增的柱状图，计算其中每一个的最大面积，并和之前删掉的柱子的备用答案一起求最大值，

上面的思路总结起来其实就是：

1. 当遇到更高的柱子就加入。
2. 当遇到矮了的柱子就将之前加入的那些更高的柱子以 后进先出 的顺序依次计算答案后删掉。

看到 后进先出，自然而然就想到用 栈 来实现上面思路了。

代码实现

栈中存放的元素是一个数组，数组中存放柱子的宽度和高度。

这里有个小技巧，可以在给定的数组后面再加一个高度为 0的柱子 ，在不影响结果的情况下，可以直接将栈清空。

Java

class Solution {

    private Deque<int[]> stack = new LinkedList<>();

    public int largestRectangleArea(int[] heights) {
        int n = heights.length;
        int ans = 0, width = 0;
        // {宽度， 高度}
        for(int i = 0; i <= n; i++){
            int height = 0;
            if(i < n){
                height = heights[i];
            }
            if(stack.isEmpty()){
                stack.push(new int[]{1, height});
                continue;
            }
            if(height == stack.peek()[1]){
                stack.peek()[0] = stack.peek()[0] + 1;
                continue;
            }

            if(height > stack.peek()[1]){
                stack.push(new int[]{1, height});
                continue;
            }

            width = 0;
            while(!stack.isEmpty() && height < stack.peek()[1]){
                int[] top = stack.pop();
                width += top[0];
                ans = Math.max(ans, width * top[1]);
            }
            stack.push(new int[]{width + 1, height});     

        }

        return ans;

    }
}

Go

func largestRectangleArea(heights []int) int {
    n := len(heights)
    stack := [][]int{}
    ans := 0
    for i := 0; i <= n; i++ {
        height := 0
        if i < n {
            height = heights[i]
        }

        if len(stack) == 0 {
            stack = append(stack, []int{1, height})
            continue
        }

        if height == stack[len(stack) - 1][1] {
            stack[len(stack) - 1][0] = stack[len(stack) - 1][0] + 1
            continue
        }
        if height > stack[len(stack) - 1][1] {
            stack = append(stack, []int{1, height})
            continue
        }

        width := 0
        for len(stack) > 0 && height < stack[len(stack) - 1][1] {
            top := stack[len(stack) - 1]
            stack = stack[:len(stack) - 1]
            width += top[0]
            ans = max(ans, width * top[1])
        }
        stack = append(stack, []int{width + 1, height})
    } 
    return ans
}

func max(a int, b int) int {
    if a > b {
        return a
    }

    return b
}

复杂度分析

时间复杂度：$O(n)$，总体上说，每个柱子都是一次入栈，一次出栈，总共是执行了 2n 次，所以忽略常数后，时间复杂度为 $O(n)$。

空间复杂度：$O(n)$，栈在完全递增的情况下，最多可能会有 n 个数据，空间复杂度为$O(n)$。