数学建模笔记（四）：初等模型

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前言

研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型就能达到建模目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。
如果对于某个实际问题，采用初等方法和高级方法建立的两个模型的应用效果相差无几时，，初等方法更受欢迎。

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一、双层玻璃窗功效

1.问题背景

2.问题假设

（1）热量传播只有传导，没有对流
（2）$T_1$，$T_2$不变，热传导过程处于稳态
（3）材料均匀，热传导系数为常数

3.模型建立

$Q_1、Q_2$所研究的是单位面积下的情况
$T_a、T_b$为中间量，通过三个式子可以将其消除，得到不含$T_a、T_b$的式子

$h=\frac{l}{d}$，将式子用一个量来表示，从而化简式子，使得结果更加直接明了

4.模型应用与结果分析

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二、划艇比赛的成绩

1.问题背景

2.问题分析

由机理出发

3.问题假设

艇长为$l$，艇宽为$b$
$v$为常数，才可以建立等式
考虑到桨手的特征，体重与功率的相关

4.模型建立

5.模型检验

使用最小二乘法之前，先对式子两边同时取对数，得到一个与模型相吻合的式子:
$lnt=lna+b\ast lnn$
令$a^{{}^{\prime }}$等于$lna$
得到下方式子
不妨再令$Y=lnt、X=lnn$
就得到了形如$Y=a^{{}^{\prime }}+b\ast X$的式子，对其使用最小二乘法

在matlab中ln(x)用log表示，lg(x)函数用log10表示

回代，注意此时求出的仅仅是$a^{{}^{\prime }}$，而非$a$

也可直接使用CFTOOL工具进行拟合

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三、实物交换

1.问题背景

2.问题分析与建模

类似“等高线”

双方满意也就是双方的满意程度相同

假设交换前双方物品的价值相同，根据CD交换的方案满足等价交换原则，双方交换后物品的价值不变

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四、汽车刹车距离与道路通行能力

1.问题背景

2.问题分析与假设

3.模型假设

4.模型建立

$1000v$作用是换算$km$为$m$，该式子表示安全条件下，$1h$内通过断面的最大车辆数

$v=\sqrt{\frac{d_0}{c_2}}$是由对勾函数确定的最值

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五、估计出租车总数

1.问题背景

2.问题分析

3.模型建立

由于顺序发放，所以总体平均值与总体中位数相同

注意一下的编号均从1开始，而非从0101开始，要换算


假设$x_n$不是最后一个，其后依然有一个$x$，且间隔由之前的平均间隔表示

假设样本点均匀分布于总体中

4.计算与分析

5.数值模拟

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六、评选举重总冠军

1.问题背景

2.数据收集

3.数据分析

4.模型建立

5.小结

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七、解读CPI

1.问题背景

2.按时间顺序解读CPI

关系：知三求一


可以理解为累积价格指数的特例

3.按分类结构解读CPI

化为矩阵

最小二乘解

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八、核军备竞赛

1.问题背景

2.模型假设

3.模型建立

由威慑值$y_0$和当前$x$可能的范围确定出$y$合理的值

当满足$x=ay$时，可以得到一个简洁的式子：$y=\frac{y_0}{s^{\frac{x}{y}}}$
这个也就是上述安全曲线的来源

4.模型解释（分析各类可能的变化情况）

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九、扬帆远航

1.问题背景

2.模型分析与假设

对力进行分解，主要考虑风对帆的力和对整个船体的力，此时未考虑水的阻力

值得注意的是，假设中将垂直于船身的力忽略，视其被舵所抵消
$v=k_1(f_1-P_1)$

表示一种直观关系

3.模型建立与求解

无约束的优化问题

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十、节水洗衣机

1.问题背景

2.问题分析

3.模型假设

4.模型建立

轮数不多，可枚举轮数，计算每种情况下的加水量

脱水后，相较于要添加的水，残余的水很少，所以可以进行简化，忽略$c$

5.模型求解

6.模型讨论

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