2-3树 与 红黑树

前言

红黑树直接看有点懵，涂上颜色，颜色转换，状态调整，说实话，一上来这么弄，我都不想看，有些东西你会知道是这么回事，但是你不清楚为什么这么做？为什么要涂上颜色？我自己也不太喜欢死记硬背，感觉很伤脑子，而且过一段时间就忘记了，这不是我的风格。

2-3 树

2-3 树 同2-3-4树 是差不多的概念，这也是一种平衡树，但有不一样的地方：

• 一般平衡树一个节点只能存一个key，这种树的节点可以有两个key，有两个key的节点称为3节点，有一个key的节点称为2节点，这里不是说 2个节点，就叫2节点。下图左边是2节点，右边是3节点。
  
• 2节点只有一个左子树、一个右子树，3节点有三个子树，分别是左子树、中间子树、一个右子树。
• 平衡树都有 节点旋转操作，因为要保证左子树、右子树 高度不能相差1,2-3树也有，但是它的旋转会复杂一些

同样 2-3树的插入、删除也会更复杂，大致的思路是：

• 如果是2节点，就变成3结点
• 如果是3结点，3结点成4节点，4节点重新分配节点

删除的话就复杂很多，当然被篇文章就不仔细讨论这些了，他的优点包括平衡二叉树的所有优点：

• 查找时间复杂度：$log(n)$，最坏的情况下降低了树的高度，比二叉平衡树可以容纳更多的key

当然缺点也非常致命：

• 查找和插入操作的实现需要大量的代码，而且它们所产生的额外开销可能会使算法比标准的二叉查找树更慢

所以2-3树在实际中很少使用。由于其需要大量的节点变换（从2-节点到3-节点到4-节点甚至到5-节点…），这些变换在实际代码中是很复杂的。所以现在几乎没有2-3树的具体实现。
但是由于2-3树的变化十分直观，因此前人在2-3树的理论基础上发明了红黑树。

2-3-4树与红黑树

2-3-4树 与 2-3树唯一的差别就在于多了一个4结点，容纳3个key，其他差别不太大，红黑树其实更类似2-3-4树：

• 一个黑结点 如果有 两个红结点，就类似一个4结点
• 一个黑结点如果有一个红结点，就类似一个3结点
  2-3树 和 2-3-4树 虽然很方便，但是上一节中也提到代码会非常复杂，于是改善了一下，提出了红黑树，红黑树用红链接表示2-3树中另类的3-结点，统一了树中的结点类型，使代码实现简单化，又不破坏其高效性，用颜色来做一个标识。

有一些博客里讲解了红黑树的几个特征性质，当然我们也提一下，虽然这些特征比较麻烦：

• 1、根结点是黑色
• 2、没有相邻的红结点，意思就是父结点是红结点，子结点就不能是红结点，红结点的子结点必须是黑结点
• 3、从结点（包括根）到其任何后代NULL节点（叶子结点下方挂的两个空节点，并且认为他们是黑色的）的每条路径都具有相同数量的黑色节点

这是约束一颗红黑树的条件，也就是符合这些条件就是红黑树，其实还有一点：新插入的结点都是红色节点。红色节点插入树中之后，根据约束条件来更改颜色、调整树结构。

红黑树插入结点

插入相对还是比较简单的。同样结点数目构成的红黑树有很多种，这些不同的情况都可以通过染色、平衡来实现，那么问题来了？你依据什么样的准则来染色、调整？因为很多种染色、平衡操作都可以使得不平衡的红黑树变得平衡，那么你设计的调整准则是什么？

看到一篇文章讲解插入操作，讲解的还是比较好的，插入主要关注三种情况，这三种情况会因为一开始插入，或者是因为调整之后出现的情况，并且并不是调整一次就结束，会反复调整，我们先看下伪代码：

RB-INSERT-FIXUP（T,z）
 1  while color[p[z]] = RED  
 2      if p[z] = left[p[p[z]]]  
 3                y ← right[p[p[z]]]  
 4                if color[y] = RED  
 5                   color[p[z]] ← BLACK                    ▹ Case 1  
 6                   color[y] ← BLACK                       ▹ Case 1  
 7                   color[p[p[z]]] ← RED                   ▹ Case 1  
 8                   z ← p[p[z]]                            ▹ Case 1  
 9                 else  if z = right[p[z]]  
10                           z ← p[z]                       ▹ Case 2  
11                           LEFT-ROTATE(T, z)              ▹ Case 2  
12                 else   
13                     color[p[z]] ← BLACK                 ▹ Case 3  
14                     color[p[p[z]]] ← RED                ▹ Case 3  
15                     RIGHT-ROTATE(T, p[p[z]])            ▹ Case 3  
16      else (same as then clause   with "right" and "left" exchanged)  
17  color[root[T]]  ←  BLACK  

代码可能有点难懂，参数说明：z是插入节点的指针，T是树。总结一下代码流程：

while  ( z节点父节点 是红色 )：
         if  z节点的父节点  ==  z节点 祖父节点的左节点：
                y = z节点 祖父节点右节点
                if y 颜色 == red
                       第一种情况调整                                     ▹ 注意
                       z = z节点的祖父节点
                 else if z是右孩子    #  这也说明 y 颜色是黑色
                           z = z节点的父节点
                           第二种情况调整                                 ▹ 注意
                 else  # z是左孩子 ,y 颜色是黑色
                        第三种情况调整                                    ▹ 注意
         else # 隐藏含义： z节点的父节点  ==  z节点 祖父节点的右节点
              # 剩下的操作跟上面一样，只不过 左右互换一下

最后将 根节点 颜色 改为 黑色

注意几点：

• 调整一共有三种情况
• 这是一个while 循环，三种情况 反复调整，一直都 z节点 的父节点不是红色
• 最后一步：将根节点置位黑色

那么调整的三种情况是怎么样的呢？图解如下：

讲解：

• 红色节点是插入节点：这句话是说 红色圈起来的节点，节点的圆圈是红色笔画的，
• 调整后，$z$被我用红色字体标出来了，这就是下一个循环中用的$z$节点。
• 第一种情况：变色
• 第二种情况：左旋转
• 第三种情况：父节点变黑，祖父节点变红，变色后 右旋转

看的时候注意几个问题：

• 第一种情况下：为什么根节点是红色？这不就不符合红黑树定义了嘛？
  因为有最后的一个步骤将根节点置位黑色，所以其实也不算是一种失误

• 第二种情况、第三种情况 下 原有结构也是有问题的？
  因为我们看到了的只是一部分结构，单纯的这种树结构是不会出现的，因为根本不符合红黑树的定义，建议看下教你透彻了解红黑树。里面有完整的树结构，第二种、第三种其中一部分结构，并且也有可能是调整之后出现的情况

• 第二种情况、第三种情况的联系
  如果你仔细看，你会发现第二种情况跟第三种情况是连续的，第二种情况之后就开始执行第三种情况，

• 第三种情况之后好像出现了不平衡的情况
  第三种情况是先变色，再旋转，但其实第三种情况的初始状态就不会存在，也就是不存在单纯的第三种情况的初始状态，它只是红黑树的一部分。完整的树下它是平衡的。

• 出现连续的两个红色节点的情况，比如第三种情况，有点像2-3-4树
  红-红-黑 就像 一个 4结点，只不过在2-3-4树中是一个结点，在红黑树中要变色、调整，使得平衡。

• 第三种情况之后，似乎就结束调整了
  没错，我们看图中第三种情况调整之后，$z$的节点位置，发现它不满足while循环的条件，也就会跳出循环，所以可以认为这是最后的一个步骤。

• 为什么是这三种情况？
  很奇怪的一点就是为什么是这三种情况？这三种情况似乎是可以连续起来的，2、3、1这样的顺序，不过也只是猜测，各种情况分析之后其实也就只有这几种情况需要调整了，具体的还要继续研究一下。

插入的操作大致是这样，一些不需要调整的情况如下：

• 插入的是根结点，因为原树是空树，此情况只会违反性质2，所以直接把此结点涂为黑色。
• 如果插入的结点的父结点是黑色，由于此不会违反性质2和性质4，红黑树没有被破坏，所以此时也是什么也不做。

三种情况的另一种换言之，可以加强大家认识：

• 情况1：如果当前结点的父结点是红色且祖父结点的另一个子结点（叔叔结点）是红色
• 情况2：当前结点的父结点是红色,叔叔结点是黑色，当前结点是其父结点的右子
• 情况3：当前结点的父结点是红色,叔叔结点是黑色，当前结点是其父结点的左子

左右反过来的情况是一样的，处理过程也是类似的，这里不赘述。

		TreeSet treeSet = new TreeSet();
        treeSet.add(4);
        treeSet.add(1);
        treeSet.add(2);
        treeSet.add(3);
        treeSet.add(5);
        treeSet.add(6);
        treeSet.add(7);

以上代码是我用来测试的代码，通过debug来查看了每个节点的颜色，得到了最终树的形状：

我比较奇怪，为啥 这个不是其他结构，因为4也可以作为根节点，得到一个更加平衡的二叉树，于是我猜想是不是跟节点插入顺序有关，于是我重新弄了一个代码：

       TreeSet treeSet = new TreeSet();
        treeSet.add(4);
        treeSet.add(1);
        treeSet.add(5);
        treeSet.add(2);
        treeSet.add(6);
        treeSet.add(3);
        treeSet.add(7);

我debug看了一下，还是结构发生了变化，

插入的顺序跟最终的结果关系很大，有可能本来就很平衡，不需要调整。

红黑树 删除结点

删除结点 一共有6种情况，真是复杂，慢慢来分析，这里会先讲解删除树节点的大致操作，然后来了解一下二叉树删除节点之后的调整过程，定一个基调，用来分析红黑树的删除：

• 1、叶子节点删除，直接删除
• 2、只有一个子节点的节点，删除该节点，子节点替代上去
• 3、有两个子节点的节点删除，选择左子节点的最大节点来替代，默认这么做，也可以选择右边最小子节点。
  不过红黑树是先删除再调整树结构，调整树结构时会以删除节点的位置出发来做调整操作。
  所以如果是红黑树的话，应该怎么做呢？
• 当前结点是红节点
• 删除后，替代节点如果是黑色节点，且是根节点，则直接删除

这两种情况比较好弄，但是不太好理解，第一种比较好理解，第二种不太好理解，因为极有可能会造成左子树黑色结点少了一个，这样，根节点到叶子节点的路径上黑色节点数目不太一致，这一点先保留意见，之后来测试一下场景。
还有另外四种情况，代码先上：

 1 while x ≠ root[T] and color[x] = BLACK  
 2     do if x = left[p[x]]  
 3           then w ← right[p[x]]  
 4                if color[w] = RED  
 5                   then color[w] ← BLACK                        ▹  Case 1  
 6                        color[p[x]] ← RED                       ▹  Case 1  
 7                        LEFT-ROTATE(T, p[x])                    ▹  Case 1  
 8                        w ← right[p[x]]                         ▹  Case 1  
 9                if color[left[w]] = BLACK and color[right[w]] = BLACK  
10                   then color[w] ← RED                          ▹  Case 2  
11                        x ← p[x]                                ▹  Case 2  
12               else if color[right[w]] = BLACK  
13                           then color[left[w]] ← BLACK          ▹  Case 3  
14                                color[w] ← RED                  ▹  Case 3  
15                                RIGHT-ROTATE(T, w)              ▹  Case 3  
16                                w ← right[p[x]]                 ▹  Case 3  
17                         color[w] ← color[p[x]]                 ▹  Case 4  
18                         color[p[x]] ← BLACK                    ▹  Case 4  
19                         color[right[w]] ← BLACK                ▹  Case 4  
20                         LEFT-ROTATE(T, p[x])                   ▹  Case 4  
21                         x ← root[T]                            ▹  Case 4  
22        else (same as then clause with "right" and "left" exchanged)  
23 color[x] ← BLACK  

4种情况主要有：

• Case 1：当前结点是黑色，且兄弟结点为红色(此时父结点和兄弟结点的子结点分为黑)
  下图中A节点就是当前节点，把父结点染成红色，把兄弟结点染成黑色，之后重新进入算法。此变换前、后 原红黑树性质5不变，而把问题转化为兄弟结点为黑色的情况。
• Case 2：当前结点是黑色，且兄弟是黑色且兄弟结点的两个子结点全为黑色
  这里要注意，调整后会将B节点作为当前节点，然后进行插入调整。所以下面的图可以看出其实是不平衡的，删除调整之后还需要插入调整。
  
• Case 3：当前结点颜色是黑，兄弟结点是黑色，兄弟的左子是红色，右子是黑色
  把兄弟结点染红，兄弟左子结点染黑，之后再在兄弟结点为支点解右旋，之后重新进入算法，这主要是把当前情况转化为情况4，然后通过插入调整来使得满足性质：根节点到所有叶子节点路径中黑色节点数目一致。这里有个疑问？插入调整的当前节点是哪个？
  
• Case 4：当前结点颜色是黑，它的兄弟结点是黑色，但是兄弟结点的右子是红色，兄弟结点左子的颜色任意
  把兄弟结点染成当前结点父结点的颜色，把当前结点父结点染成黑色，兄弟结点右子染成黑色，之后以当前结点的父结点为支点进行左旋，然后进行插入调整，
  

其实通过上述的情况来看，这里的删除调整不是一下子就结束了，也要进行插入调整，两个调整之后还要进行多次调整，最终可以得到一颗符合条件的平衡树。
来看一个代码实现：

        TreeSet treeSet = new TreeSet();
        treeSet.add(4);
        treeSet.add(1);
        treeSet.add(5);
        treeSet.add(2);
        treeSet.add(6);
        treeSet.add(3);
        treeSet.add(7);


        treeSet.remove(2);

通过debug发现删除前后的差别是，删除前：

删除后：

红黑树 业务总结

目前树结构的有：

• 二叉查找树（BST）
  英文Binary Sort Tree，查找、插入、删除的时间复杂度为$O(logN)$，时间复杂度就变味了$O(N)$
• AVL 树
  平衡二叉树全称平衡二叉搜索树，也叫AVL树。是一种自平衡的树。它要求左子树、右子树的高度相差不超过1，如果超过1了就会执行调整算法来调整数结构。

红黑树也是一种AVL树，红黑树是用非严格的平衡来换取增删节点时候旋转次数的降低，任何不平衡都会在三次旋转之内解决，而AVL是严格平衡树，因此在增加或者删除节点的时候，根据不同情况，旋转的次数比红黑树要多。

实际应用中，根据业务特点来选择：

• 若搜索的次数远远大于插入和删除，那么选择AVL
• 如果搜索，插入删除次数几乎差不多，应该选择RB

参考博客

漫画算法：什么是红黑树？（通俗易懂）
2-3树到红黑树
红黑树从头至尾插入和删除结点的全程演示图
RedBlack.pdf