考研复试——离散数学

三年疫情都没有笔试,今年恢复,大概率会有笔试。

2023年3月19号,广州那边计算机学院发布的复试通知好像没有笔试,准备了这么久,有点可惜了,部分没有整理完。因为是跨考的,其实还有有笔试比较友好,不然的话笔试的100分就会换成综合评价,但是我也没有什么获奖经历,所以怕综合评价的分数会比较低。这里吧目前整理的先发出来。

收集到之前中大学长学姐的复试离散数学题目回忆版,以及自己补充一些类似的例题,作为复试复习的笔记吧。

题目大都在王道论坛搜集,基本都是5道大题,证明比较多。

每个年份下面对应的题目就是该年的考试题目。

文章目录

  • 2019
  • 2018
  • 2017
  • 2016
  • 2015
  • 2014
  • 2013
  • 2012
  • 2011
  • 2010
  • 2009
  • 2008
  • 2007
  • 2006
  • 2005
  • 2004
  • 2003

2019

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  • 证明两个式子逻辑等价的常用方法:

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  • 常用的重要等值式模式

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  • 求主析取范式、主合取范式方法:

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  • 重要推理定律

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  • 直接法证明推理:

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  • 附加前提法:

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  • 归谬法

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  • 一阶逻辑中的重要等值式:

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  • 例题:

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  • 集合恒等式

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  • 第三题:设A,B,C是任意集合。证明: (A∩B)U C=A∩(BUC)当且仅当C是A的子集,以下证明是百度搜的,可能不太严谨。

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  • 举个例子看看屈婉玲教材上是怎么证明类似的题目的:

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  • 没找到第四题的原题,找了下函数例题:

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  • 第五题用克鲁斯卡尔算法求最小生成树应该比较简单,把边从小到大排序,然后一条一条添加即可,这里看下书本的例题:

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2018

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  • 第一题没咋看明白,可能是五个句子命题符号化,判断对错?或者是命题符号化之后列出真值表,判断是否是可满足式?但这好奇怪,一个句子应该比较好判断真假,但是判断是否规范不太明白。感觉就是类似这样的题目吧,应该比较简单,找书本上的几个题目看看:

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  • 第二题应该是关于谓词逻辑命题符号化,这里举一些例子:

  • 个体词
    个体常项或个体常元:使用 x, y, z 表示
    个体变项或个体变元:使用 a, b, c 表示
    个体域或论域:个体变元的取值
    全总个体域:宇宙件一切事物

  • 谓词
    概念:表示个体性质或彼此之间关系的词
    举例说明:A(x) 可表示 x 是学生,B(x,y) 可表示 x 大于 y

  • 量词
    全称量词 ∀:∀x 表示个体域中所有 x
    存在量词 ∃:∃x 表示个体域中存在 x

  • 例题

    在个体域分别限制为 (a) 和 (b) 条件时,将下面命题符号化:
    命题:
    (1) 对任意的 x,都有 x2-5x+6=(x-2)(x-3)。
    (2) 存在 x,使得 x+1=0。
    条件:
    (a) 个体域 D1 为自然数集合。
    (b) 个体域 D2 为实数集合。

    解:令 F(x):x2-5x+6=(x-2)(x-3),G(x):x+1=0
    对于条件(a),个体域 D1 符号化后可得
    (1) ∀xF(x),真命题。
    (2) ∀xG(x),假命题,自然数大于等于 0。
    对于条件(b),个体域 D2 符号化后可得
    (1) ∀xF(x),真命题。
    (2) ∀xG(x),真命题。

  • 命题符号化
    基本公式:
    F(x):x 具有性质 F
    G(x):x 具有性质 G

    (1)在个体域中有性质 F 的个体都有性质 G
    命题符号化:∀x(F(x)→G(x))

    (2)在个体域中存在性质 F 和性质 G 的个体
    命题符号化:∃x(F(x)∧G(x))

    命题符号化步骤
    (1)确定个体域范围(人类集合、全总个体域…)
    (2)确定谓词(G(x):x 是素数、F(x):x 天生近视…)
    (3)得出命题符号化结果

  • 例题

并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。
解:
(1) 个体域为全总个体域
(2)F(x):x 是兔子,G(y):y 是乌龟,H(x,y):x 比 y 跑得快
(3)¬∀x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y)))

  • 第三题考察文氏图容斥定理,举一个课本的例题:

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  • 第四题:

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  • 第五题举例:

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2017

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  • 第一题应该是一阶逻辑命题符号化的问题,这里举一些类似的:

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  • 第二题很有意思,这里来写一下:

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  • 第三题属于有穷集计数问题,感觉这类的题目不会太难。

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  • 这里再举一个课本上的例题,写的比较严谨,可以参考:

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  • 第四题像是课本的定理证明,我们先看一下关系的性质:

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  • 然后我们来看一下各种闭包是什么?

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  • 定理证明:

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  • 第五题,构造哈夫曼树,这类应该比较简单,每次选择两个权值最小的结点。

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2016

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  • 第一道题比较简单,也属于必须要掌握的重点,求主析取范式、主合取范式,这里我写一下过程,其实不管求出哪一个(主析取范式、主合取范式)另一个都可以直接写出来,所以就看化简完哪种方法更方便:

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  • 第二题考察与非式,写真值表,证明与非式是联结词完备集,这里来写一下:

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  • 第三题关于证明二元关系:

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  • 这里再学一下书上的定理证明:

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  • 第四题,其实我感觉图论的这些证明还是比求最小生成树、最短路径这些要麻烦的:

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  • 第五题,书上的原题,但是需要记住结论:

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2015

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  • 第一题:

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  • 第二题,还没怎么学习函数这一章节,从网上搜的答案也不知道正不正确:

(1)设f(a)=f(b),R自反,故(a,a)∈R,a∈f(a),故a∈f(b),(a,b)∈R,同理,R自反,故(b,b)∈R,b∈f(b),故b∈f(a),(b,a)∈R, R反对称,得a=b,故f为单射.

(2)对任意x∈f(a),则(x,b)∈R,又(a,b)∈R,由R有传递性(x,b)∈R,故x∈f(b),f(a)包含于f(b)

  • 第三题没看懂
  • 第四第五题应该比较简单,可以做出来。

2014

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  • 第一题,画真值表,大家都会:

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  • 第二题大概就是选取设定不同的谓词,有时为真,有时为假,故为非永真式的可满足式

  • 第三题,简单来说就是把-A替换成∩~A,下面的A写成A了,没注意,抱歉:

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  • 这里总结一些重要的集合运算算律:

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  • 第四题感觉比较简单,画一个文氏图就可以了,甚至直接就可以看出来。
  • 第五题哈夫曼树,我觉得初试学过数据结构,看到这种应该比较舒服。

2013

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  • 第一题就是简单的等值演算:

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  • 第二题不太熟练,好像是书中的结论,一阶逻辑的推理感觉还是挺麻烦的,重新回顾一下:

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  • 一些基本等值式:

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  • 证明等值式例题:

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  • 推理定律的来源:

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  • 例题:

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  • 整理到这里,2023年3月19日,广州那边的计算机学院发布复试通知,没有笔试。这边赶紧去准备其他的了。

2012

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2011

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2010

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2009

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2008

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2007

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2006

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2005

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2004

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2003

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