9.12 堆、二叉堆插入、删除操作模板代码+《算法进阶指南》例题

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一、堆 概念

堆是一棵树，每个节点都有一个键值；
每个节点的键值 >= 父亲节点的键值，叫小根堆；每个节点的键值 < 父亲节点的键值，叫大根堆

（小根）堆主要支持的操作有：插入一个数、查询最小值、删除最小值，合并两个堆、减小一个元素的值

（表中“支持可持久化”是指可以对任意的历史版本进行查询或操作，产生新版本）

通常情况下，“堆”指的是二叉堆

二、二叉堆

二叉堆其实是一棵满足“堆性质”（大、小根堆）的完全二叉树
直接使用一个数组来保存二叉堆，采用层次序列存储方式，即逐层从左到右为树中的节点依次编号，把此编号作为节点在数组中存储的位置即下标。

插入操作 insert

向二叉堆插入一个带有权值val的新节点：时间复杂度为堆的深度，即O(log N)

1. 把新节点直接放在存储二叉堆的数组末尾
2. 然后通过交换的方式向上调整，直至满足堆的性质

int heap[SIZE],n;

void up(int p){//把下标编号为p的数 向上调整 
	while(p>1){
		if(heap[p]>heap[p/2]){//子节点>父亲节点，不满足大根堆性质 
			swap(heap[p],heap[p/2]);
			p/=2; 
		}
		else break;
	}
}

void insert(int val){//插入值为val的数 
	heap[++n]=val;
	up(n);
} 

删除堆顶操作 extract

时间复杂度为堆的深度，即O(log N)

1. 把堆顶heap [1] 与存储在数组末尾的节点 heap [n] 交换
2. 然后移除数组末尾的节点 n–
3. 把堆顶通过交换的方式向下调整，直至满足堆的性质

void down(int p){//向下调整
	int s=p*2;//p的左子节点 
	while(s<=n){
		if(s<n&&heap[s]<heap[s+1]) s++;//左右子节点取较大者 
		if(heap[s]>heap[p]){//子节点>父亲节点，不满足大根堆性质 
			swap(heap[s],heap[p]);
			p=s,s=p*2;
		}
	}
}

void extract(){ //删除堆顶操作
	heap[1]=heap[n--];
	down(1);
} 

删除操作 remove

把存储在数组下标为p的位置的节点从二叉堆里删除 remove§，与extract 类似，不同的是先把heap [p] 与存储在数组末尾的节点 heap [n] 交换,
注意，此时heap [p] 可能需要向下调整，也可能需要向上调整，需要分别进行检查和处理；

void remove(int p){ //删除下标为p的位置的节点操作
	heap[p]=heap[n--];
	up(p),down(p);
} 

三、《算法进阶指南》例题

145. 超市

链接: 145. 超市

/*贪心+小根堆*/
#include
using namespace std;
int n;
int main(){
	while(cin>>n){
		vector<pair<int,int> >product(n);
		for(int i=0;i<n;i++){
			cin>>product[i].second>>product[i].first;
		}
		sort(product.begin(),product.end());//先按照product[i].first排序 ；product[i].first相同，再按 product[i].second排 
		/*for(int i=0;i
		priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >heap;
		for(auto p:product){//贪心：动态维护一个小根堆，
			heap.push(p.second);
			if(heap.size()>p.first) heap.pop();//如果当前的小根堆存储的商品数量>天数（也就是应该要卖的商品数量） 就把利润最小的商品删除掉 
		}
		/*while(heap.size()){
			cout<
		int ans=0;
		while(heap.size()){//小根堆里剩余的就是要卖的商品 
			ans+=heap.top();heap.pop();
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
}