十进制数进入计算机内的转化及计算过程；原码、反码、补码、移码的演化及功能；单精度浮点数与移码的关系及为什么偏移量是127的解读

一、人与计算机的数字互动

码的表示，在于一种表达，计算机运算所需要的一种形式。

​ 人有自己舒适的阅读理解习惯 ，十进制是最直观、最习惯熟悉的一种模式。同样，计算机也是如此，在计算机（或者说集成电路）的认知中，只要低电位和高点位两种形式，也就是0和1，所有衍生出二进制。为了显示、表达、储存方便，进而又有了八进制、十六进制。故而、计算机的运算是二进制的运算。

​ 在对二进制进行运算时，要和十进制的数相匹配，同时还要表达正负，所以在把十进制数转换为二进制数之后，要加上一个符号位，就变成了原码。因为有符号位的出现，所以一个字节的8个二进制位上，只有7个位能表示值，做进一步的延伸，也就是n个二进制位上，有(n-1)个位能表达数值。

​ 同时，衍生出两个概念：机器数和真值

​ 机器数：一个数在计算机中的二进制的表现形式，是带符号的，用最高位的数来表示，0代表整数，1代表负数

​ 真值：就是带符号位的机器数所对应的真正数值，区分正负。

二、机器内的数字游戏

1、加法运算：

​ CPU是计算机系统的运算和控制核心，其中运算器的最基本操作是加法，加法最为高效。

​ 如果用原码进行加法运算，会涉及到符号位的处理，而且原码有两个机器零，会让计算机的基础电路设计变得十分复杂化。故而发展出了补码，反码是原码与补码进行转换的一种过渡码。

​ 补码的引进利用了模运算在数理上对于符号位的处理，用钟表12个刻度为一个模来举例，回拨5和前调7得到的效果一样；同理，以四位带符号位的机器数为例，0（0000）为基数，模值 = 8，那么 -7（1001）前调8为 1（0001），它们除了符号位应该完全一样。这样减法就可以变成整数和一个负数模后的正数值相加，结果再反向模即可，相当于符号位就是模运算。

​ 举个例子：1 - 6 = 1 + （-6）

• -6 模 8 ，向前调是2，那么2 + 1 = 3，3再模 8 ，向后调是 -5 。

• 再按照尾数计算，0001 + 0010 = 0011，就是3（0011），3后调8就是-5（1011），

• 这样就和0001（1） + 1010（-6） = 1011（-5）的效果完全一样。

  

  补码解决了两个机器零的问题，而且可以使符号位也参与运算，使得减法运算可以转换为加法运算，所以计算机中的二进制数以补码形式存储。（参考博文3及本文中的四码对应表）

2、移码与浮点数阶码

​ 数字中除了整数，还有小数。如何把所有的数字都可以很好的表达成机器数，于是出现了定点数和浮点数的概念。

​ （1）定点数是小数点位置是固定的，所以能表达的数的范围较小，计算中容易溢出。

​ （2）浮点数中的小数点位置不固定，可以通过阶数表达更大范围的数。为了规范使用，出现了IEEE754工业标准，用符号位、指数（阶码）和尾数（原码）来组合表示。

​ 移码：在数X上增加一个偏移量，常用来表示浮点中的阶码，通过偏移量实现小数点的左右移动，从而可以是浮点数的规范化可以实现。

3、为什么阶码的偏移量是127

3.1 阶码增加的偏移量是2^(n-1)-1，首先因为浮点数有三种特殊情况

• P（阶码）	M（尾数）	值
  0000 0000	0	0
  0000 0000	≠0	非标准值
  1111 1111	0	±∞
  1111 1111	≠0	NaN

​ **NaN：**即非数值，是一个特殊的数值，这个数值适用于表示一个本来要返回的操作数未返回数值的情况（这样子就不会抛出错误了）。

3.2 在阶码的0-255的区间内

​ 如果向左移动2^{7=（128）位后，范围是-128至127，去掉全零和全一两个特殊位后，是-127至126,，表示的真值范围是（5.87x10}(-39)，1.7x10^38)，，小数左右两侧的精度不一样 。

​ 如果移动的是2^{7-1=127位，范围是-127至128；去掉全零和全一的特殊位，是-126至127，表示的真值范围是（1.175x10}(-38,)，3.4x10^38）。

​ 所以，阶码的偏移值是127。

三、四位机器数的原、反、补、移码的简介及其对应表

1. 原码：最高位表示正负，其余位表示数值的绝对值。

   • • 缺点：0有两种表现形式，+0和-0

2. 反码：原码与补码之间的一种过渡码

3. 补码：正数与原码相同，负数是在反码的末尾加1

   • • 优点：± 0都用同一个数表示0000
     • 缺点：数值和符号位一起编码，不能从码值形式上判断真值大小
     • 特点：多了一个-8。 -1-7的结果应该是-8, 在用补码运算的结果中, [1000 ]补 就是-8. 但是注意因为 实际上是使用以前的-0的补码来表示-8, 所以-8并没有原码和反码表示

4. 移码：在数x的补码值上增加一个偏移量来表示。

   • • 机器字长为n，偏移量为2^(n-1)。

     • X(移) = 2^(n-1) + X(补码)

     • 实现了真值从小到大的顺序排列：0000 = -8，最小；1111 = 7，最大。

   • 原码	+0	1	2	3	4	5	6	7
     	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
     	-0	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7
     	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
     反码	+0	1	2	3	4	5	6	7
     	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
     	-0	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7
     	1111	1110	1101	1100	1011	1010	1001	1000
     补码	+0	1	2	3	4	5	6	7
     	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
     	-0	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8
     	0000	1111	1110	1101	1100	1011	1010	1001	1000
     移码	+0	1	2	3	4	5	6	7
     	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
     	-0	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8
     	1000	0111	0110	0101	0100	0011	0010	0001	0000

四、参考博文及相关百科资料

1. [运算器百度百科](运算器_百度百科 (baidu.com))
2. [定点数的原码反码补码移码表示公式及范围](定点数表示方法——原码,补码,反码,移码 - Reasno - 博客园 (cnblogs.com))
3. [原码反码补码详解](原码, 反码, 补码 详解 - ziqiu.zhang - 博客园 (cnblogs.com))
4. [模运算百度百科](模运算_百度百科 (baidu.com))
5. 浮点数阶码为什么增加127的偏移量
6. [NaN非数值]((4条消息) NaN,非数值_sinat_36841379的博客-CSDN博客)
7. [NaN百度百科](NaN（数值数据类型的一类值）_百度百科 (baidu.com))

注：参考了CSDN与博客园的很多优秀的文章，结合自己的理解最终整理成文，非常感谢参考文章中各位的优秀见解和分享。