【王道计算机组成原理】第二章 数据的表示和运算

2.1 数制与编码

2.1.1 进位计数制

各种进制的常见书写方式：

r进制

不同符号反映不同权重

• 十进制

• 推广：r 进制计数法

任意进制->十进制

二进制<->八进制、十六进制

十进制->任意进制

eg：75.3

整数部分 = 75：

小数部分 = 0.3：

• 十进制->二进制（拼凑法）

十进制：260.75 -> 1 ¦ 0 0 0 0 ¦ 0 1 0 0 . 1 1

整数部分：260 = 256 + 4 = 2 ⁸ + 2 ²

小数部分：0.75 = 0.5 + 0.25 = 2 ^-1 + 2 ^-2

十进制：533.125 -> 1 0 ¦ 0 0 0 1 ¦ 0 1 0 1 . 0 0 1

整数部分：533 = 512 + 16 + 4 + 1 = 2 ⁹ + 2 ⁴ + 2 ² + 2 ⁰

小数部分：0.125 = 2 ^-3

真值和机器数

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2.1.2 BCD码 *

（考纲已删）

如 985 的 8421 码为：1001 1000 0101

其他BCD码

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2.1.3 定点数的编码表示

无符号整数的表示和运算

• 无符号整数在计算机硬件内如何表示

计算机硬件能支持的无符号位数是有上限的，是由机器字长限制的：

无符号整数的表示：

• 加法、减法运算的实现原理

✨ 加法：

✨ 减法：

A是被减数、B是减数

减数B进行变形：

减法变加法：

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带符号整数的表示和运算

原码表示

原码缺点：

补码表示

• 原码->反码->补码的转换

• 补码的加法运算

例1：

例2：

• 补码的减法运算

对比无符号整数的减法运算

例3：

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移码表示

• 原、反、补、移码的转换

• 移码

原/反/补/移码特性对比

练习：

定点小数的表示和运算

• 定点整数、定点小数

• 原码

• 定点小数原、反、补码的转换

• 定点小数的加/减运算

• 定点小数VS定点整数

补码不同于原码、反码，补码的0只有一种表示形式，所以多出来的那位我们人为使它用以表示-1。

例1：

整数补码的加法运算：

小数补码的加法运算：

例2：

整数补码的加法运算：

小数补码的加法运算：

例3：

整数补码的减法运算：

小数补码的加法运算：

2.2 运算方法和运算电路

2.2.0 奇偶校验码*

（大纲已删）

奇偶校验码

例：

重点体会 异或运算

2.2.1 ALU算术逻辑单元

（电路基本原理&加法器设计）

• ALU

一般计算机的位数就是机器字长

• 最基本的逻辑运算

与、或 双目运算；非 单目运算

• 复合逻辑

同或：

• 用门电路求偶校验位

• 一位全加器（实现加法运算）

• 串行加法器

• 并行加法器

运算速度很大程度上取决于进位速度

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2.2.2 并行进位加法器

• 怎样更快的产生进位？

为了方便观看，记 G_i、P_i ：

注：这里 ‘+’ 表示 ‘或运算’；‘·’ 表示 ‘与运算’ 高位运算需要用到低位计算出的 G _i、P _i

一般以4个FA作为1个加法器

本小节不是重点，慢慢理解

2.2.3 补码加减运算器

• 加法器原理

• 回顾：补码加/减法运算方法

• 实现补码加减运算：

有符号数：

无符号数同：

底层硬件计算逻辑相同，但是 有符号数 和 无符号数 判断溢出的方式不同

2.2.4 标志位生产

（判断溢出的方式）

2.2.5 移位运算

算数移位

对于10进制：

对于2进制：

⚪ 原码

定点整数：

算数右移：

算数左移：

定点小数：

⚪ 反码

⚪ 补码

• 小总结：

• 应用举例：

计算机的乘法是基于 算数移位 和 加法 进行的

逻辑移位

• 应用举例

循环移位

• 应用举例

对于 大端存储（先存高字节再存低字节）和 小端存储（先存低字节再存高字节） 之间进行转换

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2.2.6 定点数运算

乘法运算

• 实现思想

回忆运算器的基本组成：

· 原码的一位乘法

原码一位乘法：

最低位

下一位的运算同上：

再下一位：

再下一位：

最后的符号位不用参与运算，移位进行了 4 次 （即 n 次）

最后修改符号位：

• 做题手动模拟运算

原码运算时用双符号位或单符号位都可以。但是为了避免和补码运算记混，建议用双符号位。

· 补码的一位乘法

• 补码的一位乘法

辅助位是把MQ扩展了一位来存储

MQ中的最低位指参与乘法运算的最低位（就是不算上 辅助位）

CPU中所有的寄存器长度一般都是统一的，MQ多增加了一位，因此ACC、X也多加一位（多出来的一位可以用来表示 双符号位 的补码）

被乘数采用双符号位的补码，而乘数采用但符号位的补码

• 手算模拟

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除法运算

• 实现思想

回忆运算器基本组成：

· 原码除法：恢复余数法

默认先上商1：

上商1后计算结果11110送到ACC更新：

ACC检测到符号位为1，即负数，说明应上商0，需要恢复：

ACC、MQ逻辑左移：

确定商的下一位，同上，先上商1：

下一位：

下一位：

下一位：

计算符号位：为0

最终结果：

• 手算模拟：

能否不恢复余数？----> 加减交替法（对恢复余数法的一种优化）

定点小数除法规定 被除数 ＜ 除数，否则结果会大于1，定点小数无法表示大于1的范围。

硬件通过第一步的商来检测：正常情况第一步上商1得到的余数一定要是一个负值（若为正说明被除数 > 除数）

· 补码除法：加减交替法

与原码的加减交替法类似

• 补码加减交替法：

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2.2.7 C语言类型转换

2.2.8 数据的存储和排列

• 大小端模式

H：16进制 ； D：10进制 ； B：2进制

• 边界对齐 存储方式

字地址 转 字节地址 ：字地址逻辑左移两位（即×4，因为上图中 1字 = 4B）

半字地址 转 字节地址 ：半字地址逻辑左移一位

2.3 浮点数的表示与运算

2.3.1 浮点数的表示

• 定点数的局限性

• 从科学计数法理解浮点数

• 浮点数的表示

例：

b的尾数丢失一位，会影响精度，如何优化：

• 浮点数尾数的规格化

仍以上面的 b 为例：

浮点数尾数的规格化：

• 规格化浮点数的特点

负上溢、正上溢已从考试大纲删除

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2.3.2 IEEE754

念作 “I triple E”

• 回顾：

移码偏置值取 2^n-1 - 1：

其中：

真值 -128 = - 1000 0000 B

移码 = - 1000 0000 + 0111 1111 偏置值比 -128的绝对值 更小

移码位数只有 8 bit，所有的 ± 运算默认会再进行 mod 2⁸ （即在原有的基础上加上 1 ¦ 0000 ¦ 0000）

故该处：

• IEEE754标准

规格化的原码尾数，最高数值位一定是1，因此干脆将其隐藏起来，可以多利用一位。做题时 记得在小数点前加上1，即 1.M才是尾数真正的值

IEEE754中将 阶码全1、全0用作特殊用途，故真值范围为 -126 ~ 127 （原本应为 -128 ~ 127，其中-128为全1、-127为全0，故减去两个数）

上图中 float 偏置值： 2 ^{8 - 1} - 1 = 128 - 1 = 127

double 偏置值： 2 ^{11 - 1} - 1 = 2 ^{10 - 1} - 1 = 1023 即 011¦1111¦1111

计算阶码真值时，可以将移码和偏移量 看作无符号数进行计算

例：

例：

• IEEE754标准单精度浮点型能表示的最小绝对值、最大绝对值

• 若要表示的数绝对值还要更小怎么办？

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2.3.3 浮点数的运算

浮点数的加减运算

例：

• 舍入

强制类型转换

考试大多考察32位机器

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