20200728 连续子数组最大和问题

从简单的题开始吧，希望自己可以坚持每天打卡，羊企鹅加油鸭！
这周预计多写写动态规划类。

题目描述

输入一个整型数组，数组里有正数也有负数。数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。
要求时间复杂度为O(n)。

示例1:

输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

提示：

来源：leetcode
1 <= arr.length <= 10^5
-100 <= arr[i] <= 100
注意：本题与主站 53 题相同：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/

拿到这题最开始的思路是DP，想了一下有点思路就去看讨论，发现自己的DP复杂度太高了。。。。

最初的想法是： Dp,q=max(Dp+1,q+num[p], Dp,q-1 +num[q]) ，来求D0,length
感觉这样好像有点类似分冶法的思路了。

然后去看了大神的思路，总结一下如下三种解法：

算法	时间复杂度	空间复杂度
类贪心算法	O(n)	O(1)
动态规划法	O(n)	O(1)
分冶法	O(nlgn)	O(1)

一、贪心算法

emmm 个人觉得这并不是严格的贪心算法，因为贪心算法要求局部总是最优的，而这里的要求是整个子数组的和是最大的。不过我们可以借鉴贪心的思路，即，到当前为止，求到的解总是最优的，具体思路如下：
1.从前向后遍历数组，假设已经求得遍历过的数中的最大和数组，我们可以把这个最大和数组记为一个整形结果：Di-1。对任意i，若要使得结果最优，一定有：Di-1>=0。
2.对下一个要取到的数num[i]，若为非负数，那么情况很简单，Di=（Di-1+num[i]）>=Di-1，取第i个数，使得我们的子数组和变大；
若为负数，那么情况变得有点复杂：
1.若这个负数，使得Di=（Di-1 +num[i]<0）<=Di-1，即有:Di<0,那么应记录下Di-1,并舍弃该Di，从第i+1重新开始计算最大和数组并与Di-1比较。
2.若第i个数加上后，有：Di=（Di-1+num[i])>0,那么不需要舍弃该Di，继续向后遍历，看看有没有能累加到比Di-1更大的子数组（所以为什么说这个算法不是严格的贪心，因为在这个时候并不是最优解）
代码如下：

int maxSubArray(vector& nums) {
        int max=0;//max为记录的最大和
        int now=0;//now为当前记录值
        int nummax=nums[0];//用nummax来记录数组中最大的数以防止全为负数时输出错误（全为负数则需输出最小的负数
        int len=nums.size();
        for(int i=0;inums[i]?nummax:nums[i];
        max=max>now?max:now;
        }
        if(nummax<0) return nummax;
        else return max;
    }

正如同上面的分析，这并不是一个典型的贪心问题，只是用了一点点贪心的思路

二、动态规划算法

emmm每次知道要用动态规划，但是构造的状态定义递推式都不是很动态规划，多思考多总结一下我和标答的差距
状态定义：Dp[i]表示到i为止（包含i)，产生的最大子数组和的值。
初始状态：Dp[0]=nums[0]
状态转移：对Dp[i+1],由于Dp[i+1]必须包含nums[i+1],那么其实只要考虑Dp[i]的值就可以了：

1. Dp[i]<0，那么Dp[i+1]=nums[i+1]
2. Dp[i]>=0，那么Dp[i+1]=nums[i+1]+Dp[i]
   故Dp[i]=max(nums[i],nums[i+1]+Dp[i-1]

最终状态：Dp[length]即为所求数组的最大和子数组
图解来源：Karhets的题解

图例.png

代码如下：

 int maxSubArray(vector& nums) {
        int i,dp,max;
        dp=nums[0];
        max=dp;
        int len=nums.size();
        for (i=1;idp?max:dp;
        }
        return max;
    }

执行了一下居然比上面的伪贪心算法复杂度还高，又修改了一下(实际上没太多区别)：

int maxSubArray(vector& nums) {
        int i,dp,max;
        dp=nums[0];
        max=dp;
        int len=nums.size();
        for (i=1;i0?dp+nums[i]:nums[i];
        max=max>dp?max:dp;
        }
        return max;
    }

三、分冶法

待补充