2020年蓝桥杯国赛C++B组试题

一 扩散——广度优先搜索

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注意坐标可能是负数就可以了，因此，我们把初始点整体右移一定距离，然后常规BFS。

#include
using namespace std;
string s11,s22 ,s1 ,s2;
int N = 3000;
int a[8000][8000];
int times[8000][8000];
typedef pair<int,int> P;
P beg,cur,next,end;
queue<P> Q;

int dir[4][2] = { {1,0},{0,1},{-1,0},{0,-1}};
int main(){
	
	a[N][N] = 1;
	a[2020+N][11+N] = 1;
	a[11+N][14+N] = 1;
	a[2000+N][2000+N] = 1;
	beg.first = N;beg.second = N;
	Q.push(beg);
	beg.first = 2020+N;beg.second = 11+N;
	Q.push(beg);
	beg.first = 11+N;beg.second = 14+N;
	Q.push(beg);
	beg.first = 2000+N;beg.second = 2000+N;
	Q.push(beg);
	int tx, ty;
	while(!Q.empty()){
		cur= Q.front();Q.pop();
		if(times[cur.first][cur.second] == 2020){
			break;
		}
		for(int i = 0 ; i < 4; ++i){
			tx = cur.first + dir[i][0];
			ty = cur.second + dir[i][1];
			if(a[tx][ty] == 1){
				continue;
			}
			else{
				times[tx][ty] = times[cur.first][cur.second] + 1;
				a[tx][ty] = 1;
				next.first = tx; next.second = ty;
				Q.push(next);
			}	
		}
		
	}
	int ans = 0;
	for(int i = 0 ; i < 8000; ++i){
		for(int j = 0 ; j < 8000; ++j){
			if(a[i][j]){
				ans++;
			}
		}
	}
	cout<<ans;  //20312088
	return 0;
}

二 阶乘约数——数论

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思路

根据数论知识：任意一个正整数都可以写成若干质数的乘积，X = p1^α1 * p2^ α2 …… * pk^αk
那么约数的个数p = (α1+1)*(α2 +1)*…*(αk +1)
有了上述基础，那么n！的约数个数也就是先把n！转为若干质数的乘积，并统计每一个质数的个数，然后根据公式求得约数个数即可。

#include
using namespace std;
#define int long long 
map<int , int > m;
signed main(){
	//统计n个数的若干质数乘积。 
	for(int i = 2; i <=100;++i){
		int t = i;
		//统计每一个数t的若干质数乘积 
		for(int j = 2 ; j <= t ;){
			if(t % j == 0){
				t = t / j;
				m[j] ++; 
			}else{
				j ++;
			}
		}	
	}
	map<int,int>::iterator it = m. begin();
	//根据公式求得约数。
	int ans = 1; 
	for(;it!=m.end();++it){
		ans = ans*(it->second+1);
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

三 本质上升序列——动态规划

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思路
据说90%的字符串问题都可以用 动态规划（dp） 解决哦

动态规划三大步， 1.设状态表示方程 2.找状态转移方程 3.状态方程初始化
dp 思路：题目要求去重递增子序列的个数，不妨拆开来做，即先求递增子序列的个数，再考虑去重。
1.假设dp[i]表示前i个的递增子序列的个数（通常为题目所求结果即为状态表示方程）
2. 由于是递增子序列，那么 需满足前提 dp[i] > dp[j]，有 dp[i] = dp[i] + dp[j]。 显然j < i。
3.因为每一个str[i]是一个递增子序列，那么初始化 dp[i] = 1;

现在考虑去重，在第2个中的状态转移方程中，我们只考虑了dp[i] > dp[j]的情形，那么如果dp[i] == dp[j]和dp[i]

1. 对于dp[i] < dp[j]，不符合题意，continue掉；
2. 对于dp[i] == dp[j]，说明此时有两个字符是相同的，那么dp[j]与dp[j]前面的子序列组成的情况 和 dp[i]与dp[j]前面子序列组成的情况必然会出现重复统计，例如 a n n，dp[0] = 1 dp[1] = 3 dp[2] = 3 ，这里重复统计了一次an的递增子序列，即a、 n、 an ，所以有dp[i] = dp[i] - dp[j]。

因此，总的状态转移为：

 if(str[i] > str[j]){
 	dp[i] = dp[i] + dp[j]; 
} else if(str[i] == str[j]){
	dp[i] = dp[i] - dp[j]; 
}

#include
using namespace std;
#define int long long 
set<string> sets;

string str;
string s;
// 共有2的200次方种方案， 铁定超时，所以下面用dp做。 
void dfs(int i){
	if(i >= str.size()){
		sets.insert(s);
		return;
	}
	if(str[i] > s[s.size()-1]){  //可选 
		s+=str[i];
		dfs(i+1);
		s.erase(s.size()-1);
	}
	dfs(i+1);  //不选 
}
int dp[1000];
signed main(){
	str = "tocyjkdzcieoiodfpbgcncsrjbhmugdnojjddhllnofawllbhfiadgdcdjstemphmnjihecoapdjjrprrqnhgccevdarufmliqijgihhfgdcmxvicfauachlifhafpdccfseflcdgjncadfclvfmadvrnaaahahndsikzssoywakgnfjjaihtniptwoulxbaeqkqhfwl";
//	dfs(0);
//	cout<
	dp[0] = 1;
	for(int i = 1 ; i < str.size() ; ++i){
		dp[i] = 1;  //每个本身有一个。 
		for(int j = 0; j < i; ++j){
			if(str[i] > str[j]){
				dp[i] = dp[i] + dp[j]; 
			} else if(str[i] == str[j]){
				dp[i] = dp[i] - dp[j];  //去重 假如有 a n n ，那么dp[1] = 3， dp[2] = 3 因此是重复统计了一次an的子序列，即a n an 
			}
		}
	} 
	int ans = 0;
	for(int i = 0 ;i < str.size();++i) ans += dp[i];
	cout<<ans; 
	return 0;
} 

四 玩具蛇——DFS

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确定了一个位置后，下一个位置可能的情况就知道了，这就可以用深度优先搜索来做。题目的意思就是要求1-16依次连续放入方格中的方案数量。

#include
using namespace std;
int dir[4][2] = { {0,1}, {1,0},{-1,0},{0,-1}};
int vis[10][10];
int cnt;
int k;
void dfs(int x, int y){
	if(k == 16){
		cnt ++;
//		for(int i = 1; i <= 4; ++i){
//			for(int j = 1; j <= 4; ++j){
//				cout<
//			}
//			cout<<'\n';
//		}
//		cout<<'\n';
		return;
	}
	for(int i = 0 ; i < 4; ++i){
		int tx = x + dir[i][0]; 
		int ty = y+dir[i][1];
		if(tx>=1 &&tx <= 4 && ty >= 1 && ty <= 4 && vis[tx][ty] == 0){
			k++;
			vis[tx][ty] = k; 
			dfs(tx, ty);
			k--;
			vis[tx][ty] = 0;
		}
	}
}

int main(){
	for(int i = 1; i <= 4; ++i){
		for(int j = 1; j <= 4; ++j){
			k = 1;
			vis[i][j] = 1;
			dfs(i,j);
			vis[i][j] = 0;
		}
	}
	cout<<cnt;
	return 0;
}