2036: [蓝桥杯2022初赛] 统计子矩阵（二维前缀和，一维前缀和）

2036: [蓝桥杯2022初赛] 统计子矩阵

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题目描述

给定一个 N × M 的矩阵A，请你统计有多少个子矩阵(最小 1 × 1，最大 N × M) 满足：
子矩阵中所有数的和不超过给定的整数K?

输入格式

第一行包含三个整数N, M 和K.
之后 N 行每行包含 M 个整数，代表矩阵A.
30%的测试数据：1≤N,M≤20；
70%的测试数据：1≤N,M≤100；
100%的测试数据：1≤N,M≤500；0≤Aij≤1000；1≤K≤250000000。

输出格式

一个整数代表答案。

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3 4 10
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12

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19

数据范围与提示

满足条件的子矩阵一共有19，包含：
大小为1 × 1 的有10 个。
大小为1 × 2 的有3 个。
大小为1 × 3 的有2 个。
大小为1 × 4 的有1 个。
大小为2 × 1 的有3 个。

可笑的是，第一次看到这个题，写了一个六层循环，吓死人！

对于这种二维矩阵，求和，可以用dp[i][j]来表示matr[0][0]到matr[i][j]的和,
   这样能简便后面求和的步骤，减少两阶的时间复杂度，这是二维前缀和。

   同时，一维前缀和怎么表示呢?dp[i][j]表示matr[0][j]到matr[i][j]的和，这只表示
   第j列前面i行的和。所以这就是一维前缀和和二位前缀和的区别

对于递增的二维前缀和，如果要计算子矩阵个数等问题，可以先固定行号，再迭代列号进行遍历，这样可以根据递增的性质减少时间复杂度，实现三重循环。因为如果先固定左上角坐标，再固定右下角坐标，则会出现四重循环，即不能利用二维前缀和递增的性质。

/**对于这种二维矩阵，求和，可以用dp[i][j]来表示matr[0][0]到matr[i][j]的和,
   这样能简便后面求和的步骤，减少两阶的时间复杂度，这是二维前缀和。

   同时，一维前缀和怎么表示呢?dp[i][j]表示matr[0][j]到matr[i][j]的和，这只表示
   第j列前面i行的和。所以这就是一维前缀和和二位前缀和的区别
*/


/**二维前缀和求解*/
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int dp[502][502]={0};
int main()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    int n,m,top;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&top);
    int val;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=m;++j)
        {
            scanf("%d",&val);
            dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j]-dp[i-1][j-1]+val;
        }
    long long sum=0;    //sum还必须定义成long long，否则百分之二十答案错误
//    for(int i=1;i<=n;++i)     //四重循环明显超时，百度看的"双指针求解"
//    {
//        for(int j=1;j<=m;++j)
//        {
//            for(int k=i;k<=n;++k)
//            {
//                for(int h=j;h<=m;++h)
//                {
//                    if(dp[k][h]-dp[k][j-1]-dp[i-1][h]+dp[i-1][j-1]<=top)
//                        sum+=1;
//                    else break;
//                }
//            }
//        }
//    }

//先固定行号，列号从一开始，col_l 从1开始递增，col_l最能加n次，但是上面这个四重循环，等价于
//将col_l要循环n^2次；
    for(int i=1;i<=n;++i)   //百度看的"双指针求解"
        for(int j=i;j<=n;++j)   /**现在才看明白，就是tow point*/
            for(int col_l=1,col_r=1;col_r<=m;++col_r)
            {
                while(col_l<=col_r&&(dp[j][col_r]-dp[j][col_l-1]-dp[i-1][col_r]+dp[i-1][col_l-1])>top)
                    ++col_l;
                if(col_l<=col_r)
                    sum+=col_r-col_l+1;
            }
    cout << sum << endl;
    return 0;
}

/**一维前缀和求解*/

/**一维前缀和求解*/
/**
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int dp[502][502]={0};
int main()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    int n,m,top;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&top);
    int val;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=m;++j)
        {
            scanf("%d",&dp[i][j]);
            dp[i][j]+=dp[i-1][j];
        };
    long long result=0;    //result还必须定义成long long，否则百分之二十答案错误

    for(int i=1;i<=n;++i)   //百度看的"双指针求解"
        for(int j=i;j<=n;++j)   //现在才看明白，就是tow point
            for(int col_l=1,col_r=1,sum=0;col_r<=m;++col_r)
            {
                sum+=dp[j][col_r]-dp[i-1][col_r];
                while(sum>top)
                {
                    sum-=dp[j][col_l]-dp[i-1][col_l];
                    ++col_l;
                }

                if(col_l<=col_r)
                    result+=col_r-col_l+1;
            }
    cout << result << endl;
    return 0;
}
*/