CSP-S初赛基础知识整理

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[1]计算机基础知识

计算机系统的组成

硬件系统和软件系统。

计算机系统

硬件系统

中央处理器 CPU

算术逻辑运算器 ALU

控制器 CU

内存储器

随机存取存储器 RAM

只读存储器 ROM

外存储器

磁盘

硬盘 Hrad Disk

软盘 Floppy Disk

磁带

光盘 CD/DVD-ROM

输入设备

输出设备

I/O Devices

键盘

鼠标

光笔

数字化仪器

显示器

打印机

绘图仪

联网通讯设备

软件系统

计算机硬件的五大组成

控制器、运算器、存储器、输入设备和输出设备。

[1-2]进制及其转化和运算

[1-2]二进制

[1]基本定义及应用

逢二进一。后缀为$\text{B}$。
是计算机主要存储方式。

[1]基本运算

1. 加法 0+0=0，0+1=1，1+1=10。
2. 减法 0-0=0，1-0=1，1-1=0。
3. 乘法 0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1。

[2]位运算

1. and(&)

	0	1
0	0	0
1	0	1

2. or(|)

	0	1
0	0	1
1	1	1

3. xor(^)

	0	1
0	0	1
1	1	0

4. not(~)

0	1
1	0

[1]其他进制及转换

八进制

有 $0\to 7$ 8个字符组成，与二进制1换3。
后缀为$\text{O}$。

2进制	8进制
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

十六进制

有 $0\to 9,A\to F$ 16个字符组成，与二进制1换4。
后缀为$\text{O}$。

2进制	8进制
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

十进制

有 $0\to 9$ 10个字符组成。
后缀为$\text{D}$。

2进制	10进制
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	10
1011	11
1100	12
1101	13
1110	14
1111	15

[1]主要人物及贡献

名字	国籍	信息学主要贡献	称号身份
艾伦·麦席森·图灵	英	图灵机，图灵奖，图灵实验	计算机科学之父，人工智能之父
约翰·冯·诺依曼	美籍匈牙利	体系构想，程序存放于内存	计算机之父、博弈论之父
克劳德·艾尔伍德·香农	美	提出了信息熵的概念	信息论的创始人
姚期智	中	通讯复杂度，伪随机数生成	奠定现代密码学
艾达·拉芙蕾丝	英	Ada语言	第一个程序员，计算机程序创始人

[5]Linux

命令	作用
mkdir	创建目录
cp	复制文件(夹)
rm	删除文件(夹)
mv	重命名/移动
cd	切换工作目录
pwd	打印目录路径
ls	显示目录文件
time	测量运行时间
g++	编译命令
gdb	调试命令
./a	运行 a

time

real time > cpu time = user time + sys time

real time

表示从程序开始到程序执行结束时所消耗的时间，包括CPU的用时。

user time

值表示程序本身，以及它所调用的库中的子例程使用的时间。

sys time

是由程序直接或间接调用的系统调用执行的时间。

gdb

默认

1. gdb ./a

对 $\text{a}$ 进行调试。

2. gdn --args ./a 1.txt

对 $\text{a}$ 进行调试并标记输入文件为 $\text{1.txt}$。

其他操作

1. b(reak)

设置断点。

2. display

查看变量或式的值。

3. c(ontinue)

开始连续（而非单步）执行。

4. s(ept)

进入函数调试。

[5]编译选项

默认

g++ 1.cpp -o 1.exe

其中 $\text{1.cpp}$ 为源文件，$\text{1.exe}$ 为输出文件。

额外编译指令

1. -x language filename

将 $\text{filename}$ 这个文件以 $\text{language}$ 的语言编译。

注意：-x 指令对其之后的所有文件都生效。

2. -x none filename

取消上一个指令的效果。

3. -c

只将文件生成为 $\text{obj}$ (二进制)文件。

4. -S

只将文件生成为汇编代码。

5. -o

标记输出文件。

6. -O0,-O1,-O2,-O3

开启 $\text{O0(1,2,3)}$优化。

7. -g

产生调试信息。

[5]STL

STL

[5-8]算法

[6]复杂度分析

空间复杂度分析

时间复杂度分析

主定理

令$T(n)=a\times T(\frac{n}{b})+f(n)$

当 $a\ge 1andb>1$ 时

1. 若$\exists ϵ>0$，有$f(n)=O\left(n^{{\log }_{b}a-ϵ}\right)$，则$T(n)=\Theta \left(n^{{\log }_{b}a}\right)$。

2. 若有$f(n)=O\left(n^{{\log }_{b}a}\right)$，则$T(n)=\Theta \left(n^{{\log }_{b}a}\log n\right)$。

3. 若$\exists ϵ>0$，有$f(n)=O\left(n^{{\log }_{b}a+ϵ}\right)$ 且对于常数 $c<1$ 和所有足够大的 $n$，有$a\times f(\frac{n}{b})\le c\times f(n)$,则$T(n)=\Theta \left(f(n)\right)$。

[6]基础算法

分治算法

[5-6]排序算法

排序算法	平均时间复杂度	最好时间复杂度	最坏时间复杂度	空间复杂度	排序方式	稳定性	评级
归并排序	$\Theta \left(n\log n\right)$	$\Theta \left(n\log n\right)$	$\Theta \left(n\log n\right)$	$\Theta \left(n\right)$	非原地排序	稳定	5
快速排序	$\Theta \left(n\log n\right)$	$\Theta \left(n\log n\right)$	$\Theta \left(n^2\right)$	$\Theta \left(\log n\right)$	原地排序	不稳定	5
基数排序	$\Theta \left(n\times k\right)$	$\Theta \left(n\times k\right)$	$\Theta \left(n\times k\right)$	$\Theta \left(n+k\right)$	非原地排序	稳定	6
堆排序	$\Theta \left(n\log n\right)$	$\Theta \left(n\log n\right)$	$\Theta \left(n\log n\right)$	$\Theta \left(1\right)$	原地排序	不稳定	6
桶排序	$\Theta \left(n+k\right)$	$\Theta \left(n+k\right)$	$\Theta \left(n^2\right)$	$\Theta \left(n+k\right)$	非原地排序	稳定	5
树形选择排序（竞标赛排序）	$\Theta \left(n\log n\right)$	$\Theta \left(n\log n\right)$	$\Theta \left(n\log n\right)$	$\Theta \left(n\right)$	非原地排序	不稳定	6

[5]字符串

KMP

时空复杂度

时间复杂度为$\Theta \left(n+m\right)$,空间复杂度为$\Theta \left(m\right)$。

基本代码

#include
using namespace std;
int ans[1000039],lena,lenb; 
char a[1000039],b[1000039];
int main(){
	register int i,j;
	cin>>a>>b;lena=strlen(a);lenb=strlen(b);
	for(i=1;i<lenb;i++){	 
	   while(j&&b[i]!=b[j+1])j=ans[j];	
	   if(b[j+1]==b[i])j++;	
		ans[i]=j;
	}
	j=0;
	for(i=0;i<lena;i++){
		while(j>0&&b[j+1]!=a[i])j=ans[j];
		if(b[j+1]==a[i])j++;
		if(j==lenb){
			printf("%d\n",i-lenb+1);
			j=ans[j];
		}
	}
	for(i=1;i<=lenb;i++)printf("%d ",ans[i]);
	return 0;
}

[6-8]搜索

时间复杂度基本为常数优化。

[6]减枝搜索

[6]记忆化搜索

[7]启发式搜索

[7]双向BFS搜索

[7]迭代加深搜索

[8]搜索对象压缩搜索

[6-7]图论

[6]Prim 和 kruskal 最小生成树

kruskal 时空复杂度

时间复杂度为$\Theta \left(m\log m\right)$,空间复杂度为$\Theta \left(n+m\right)$。

kruskal 基本代码

#include
using namespace std;
int n,m,ans,f[200039],tot;
struct node{int u,v,w;bool operator<(node x)const{return w<x.w;}}a[200039];
int find(int x){return f[x]=f[x]^x?find(f[x]):x;}
void kruskal(){
	int x,y;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		x=find(a[i].u);
		y=find(a[i].v);
		if(x==y) continue;
		else{
			ans+=a[i].w;
			f[x]=y;
			tot++;
			if(tot==n-1) break;
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	register int i,j;
	for(i=1;i<=n;i++)f[i]=i;
	for(i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d",&a[i].u,&a[i].v,&a[i].w);
	sort(a+1,a+m+1);kruskal();
	if(tot==n-1)printf("%d",ans);
	else printf("orz");
	return 0;
}

[7]次小生成树

[6]Dojkstra、bellman_ford 和 SPFA 单源最短路

[7]单源次短路

[6]Floyd-Warshall 求最短路和传递闭包

[6]DAG拓扑排序

[6]欧拉道路和欧拉回路

[6]二分图构造和判定

[6]最近公共祖先

倍增LCA 时空复杂度

时间复杂度为预处理$\Theta \left(n\log 树高\right)$，查询$\Theta \left(\log 树高\right)$。

空间复杂度为$\Theta \left(n\log 树高\right)$。

倍增LCA 基本代码

#include
using namespace std;
int n,m,root,x,y,d[500039];
int Fa[500039][39];
vector<int>v[500039];
void dfs(int u,int deep,int fa){
	d[u]=deep;int k=1;Fa[u][0]=fa;
	do{Fa[u][k]=Fa[Fa[u][k-1]][k-1];}while(Fa[u][k++]);
	for(int i=0;i<v[u].size();i++)if(v[u][i]^fa)dfs(v[u][i],deep+1,u);
}
int LCA(int u,int v){
	int k=19;
	while(d[u]<d[v]){while(d[u]>d[Fa[v][k]]&&k)k--;v=Fa[v][k];}
	if(u==v)return x;k=20;
	while(k--){if(Fa[u][k]!=Fa[v][k])u=Fa[u][k],v=Fa[v][k];}
	return Fa[u][0];
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&root);
	for(int i=1;i<n;i++){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		v[x].push_back(y);
		v[y].push_back(x);
	}
	dfs(root,0,0);d[0]=-1;
	while(m--){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		if(d[x]>d[y])x^=y^=x^=y;
		printf("%d\n",LCA(x,y));
	}
} 

[7]求强连通分量

[7]强连通分量缩点

[7]求割点割边

[6-8]动态规划

[6]树形动态规划

[7]状态压缩动态规划

[8]动态规划优化

斜率优化DP

四边形不等式优化DP

二维四边形不等式优化区间DP

CDQ分治优化DP

[5-7]数学知识

[5-6]高中数学

[5]代数

[6]解析几何

[6]立体几何

[5-7]初等数论

[5]同余式

[7]欧拉定理和欧拉函数

欧拉函数

$\phi (n)$ 表示小于n的正整数与n互质的数的个数。

当n为质数时 $\phi (n)=n-1$

当n为奇数时 $\phi (2n)=\phi (n)$

当 $\gcd (a,b)=1$时 $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$

欧拉定理

当 $\gcd (a,p)=1$时 $a^{\phi (p)}\equiv 1(modp)$

[7]费马小定理

$a^{p-1}\equiv 1(modp)$

[7]威尔逊定理

当且仅当 $p$ 为素数时 $(p-1)\equiv -1(modp)$。

[7]斐蜀定理

当 $a,b\ne 0$ 时，$\exists x,y\in \mathbb{Z}$ 满足 $ax+by=\gcd (a,b)$。

[7]逆元

当 $\gcd (a,b)\ne 0$ 时，$(a/b)modp$ 可转换为 $a\ast b^{p-2}modp$

[7]扩展欧几里得

[7]中国剩余定理

[6-7]组合数学

[6]可重集排列

对于一个有 $n$ 个元素共 $k$ 种的集合，其中每种元素分别有 $p_1,p_2\cdots p_k$ 个，那么可重集排列数量为

$$\frac{n!}{{\prod }_{i-1}^k{p}_i!}$$

[6]可重集组合

对于一个有 $n$ 个元素的集合，每次选 $k$ 个，允许元素重复，且不计顺序的可重集组合数量为

$$\left(\begin{array}{c}n+r-1\\ r\end{array}\right)$$

[6]错排、圆排

错排

一个长度为 $n$ 的排列且满足 $\forall i\in [1,n]$ 第 $i$ 个数不为 $i$ 的数量为

递推式

$$D_n=n{D}_{n-1}+{-1}^n，D_1=0$$

通项式

$$D_n=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)(n-k)!(-1{)}^k$$

圆排

从 $n$ 个元素中选 $r$ 个进行圆排列的数量为

$$\frac{n!}{r\times (n-r)!}$$

[6]鸽巢原理

[6]二项式定理

$$(x+y{)}^n=\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)x^n{y}^0+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)x^{n-1}{y}^1+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)x^{n-2}{y}^2+\cdots \cdots +\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)x^1{y}^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)x^0{y}^{n}n\in {\mathbb{Z}}^{+}$$

$$(x+y{)}^n=\left[\begin{array}{c}{x}^0\cdots x^n\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)& & \\ & \ddots & \\ & & \left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}& & 1\\ & ⋮& \\ 1& & \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_0\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]n\in {\mathbb{Z}}^{+}$$

[7]容斥原理

[7]卡特兰数

$$C_{n+1}=C_0{C}_n+C_1{C}_{n-1}+\cdots +C_n{C}_0$$

[5-7]线性代数

[5]矩阵概念

[6]特殊矩阵

稀疏矩阵

三角矩阵

[6]矩阵的初等变换

[6]矩阵的加减乘和置换

矩阵加减法

$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,m}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& & \\ ⋮& & \ddots & \\ a_{n,1}& & & a_{n,m}\end{array}\right]\pm \left[\begin{array}{cccc}{b}_{1,1}& b_{1,2}& \cdots & b_{1,m}\\ b_{2,1}& b_{2,2}& & \\ ⋮& & \ddots & \\ b_{n,1}& & & b_{n,m}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}\pm b_{1,1}& a_{1,2}\pm b_{1,2}& \cdots & a_{1,m}\pm b_{1,m}\\ a_{2,1}\pm b_{2,1}& a_{2,2}\pm b_{2,2}& & \\ ⋮& & \ddots & \\ a_{n,1}\pm b_{n,1}& & & a_{n,m}\pm b_{n,m}\end{array}\right]$$

矩阵加减法满足交换律和结合律。

矩阵乘法

$$C_{n+1}=C_0{C}_n+C_1{C}_{n-1}+\cdots +C_n{C}_0$$

$$C=A\cdot B{C}_{i,j}=\sum _{k=1}^p{A}_{i,k}{B}_{k,j}$$
$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,p}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& & \\ ⋮& & \ddots & \\ a_{m,1}& & & a_{m,p}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cccc}{b}_{1,1}& b_{1,2}& \cdots & b_{1,n}\\ b_{2,1}& b_{2,2}& & \\ ⋮& & \ddots & \\ b_{p,1}& & & b_{p,n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\sum }_{k=1}^p{a}_{1k}{b}_{k,1}& {\sum }_{k=1}^p{a}_{1,k}{b}_{k,2}& \cdots & {\sum }_{k=1}^p{a}_{1,k}{b}_{k,n}\\ {\sum }_{k=1}^p{a}_{2,k}{b}_{k,1}& {\sum }_{k=1}^p{a}_{2,k}{b}_{k,2}& & \\ ⋮& & \ddots & \\ {\sum }_{k=1}^p{a}_{m,k}{b}_{k,1}& & & {\sum }_{k=1}^p{a}_{m,k}{b}_{k,n}\end{array}\right]$$

矩阵乘法满足结合律，不满足交换律。

[6]线性方程组和高斯消元法