算法笔记——高精度算法（附源码）

作者介绍：22级树莓人（计算机专业），热爱编程＜目前在c＋＋阶段，因为最近参加新星计划算法赛道(白佬)，所以加快了脚步，果然急迫感会增加动力>——目标Windows，MySQL，Qt，数据结构与算法，Linux，多线程，会持续分享学习成果和小项目的
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总结：希望你看完之后，能对你有所帮助，不足请指正！共同学习交流

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✨一、高精度算法的应用场景

利用计算机进行数值计算，有时会遇到这样的问题：有些计算要求精度高，希望计算的数的位数可达几十位甚至几百位，虽然计算机的计算精度也算较高了，但因受到硬件的限制，往往达不到实际问题所要求的精度。我们可以利用程序设计的方法去实现这样的高精度计算。这里不包括java和Python选手哈,当输入很大的时候scanf比cin效率更高

✨二、高精度加法

1、思路

我们先手动模拟一下加法

• 先个位相加：6+6=12，所以个位的结果得2，向十位进1

• 再十位相加：6+9+1(进位)=16,所以十位的结果得6，向百位进1

• 最后再百位相加：5+1(进位)=6，所以百位的结果得6，进位为0

2、算法

• 第一步：需要把两个大整数倒序过来储存到一个数组中，因为我们都知道加法是从低位开始加的

• 第二步：判断较长的数字，放在前面，因为循环条件需要

• 第三步：开始计算A[i]+B[i]+t这里t表示进位，前面的和表示为sum，则当前的位的结果表示为sum%10，进位更新t/=10

• 循环结束后：判断t为不为0，如果不为0，需要把t存到和数组中(这种情况就是和比最长加数还要长的情况)

3、模板展示

vector add(vector &A, vector &B)
{
    if (A.size() < B.size()) return add(B, A);
    //为了方便计算，让A中保存较长的数字， B中保存较短的数字

    vector C;//保存结果的数组
    int t = 0;//进位，开始时是0
    for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )//依次计算每一位
    {
        t += A[i];//加上 A 的第 i 位上的数字
        if (i < B.size()) t += B[i];//加上 B 的第 i 位上的数字
        C.push_back(t % 10); //C 中放入结果
        t /= 10;//t 更新成进位
    }

    if (t) C.push_back(t);//最后如果进位上有数，放进结果数组
    return C;//返回结果
}

4、习题练习

1、题目：Acwing 791. 高精度加法

给定两个正整数（不含前导 0），计算它们的和。

输入格式

共两行，每行包含一个整数。

输出格式

共一行，包含所求的和。

数据范围

1≤整数长度≤100000

输入样例：

12
23

输出样例：

35

2、代码展示

#include
#include
#include
using namespace std;
vector add(vector&A,vector&B)
{
    vector C;
    if(A.size() A,B;
    cin>>a>>b;
    //倒序存放
    for(int i=a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');
    for(int i=b.size()-1;i>=0;i--) B.push_back(b[i]-'0');
    auto C=add(A,B);
    for(int i=C.size()-1;i>=0;i--) cout<

✨三、高精度减法

1、思路

一样的我们先模拟一下减法竖式：

• 和高精度加法差不多，值得注意的是
• 减法的借位处理
• 相减为负数的处理
• 前导0的处理

2、算法

• 对于两个减数的处理t = A[i] - B[i] - t； 可以拆为 t = A[i] - t如果B[i]合法，再t -= B[i] 这么两步来做，这里的t表示借位
• 两数对应位置相减后放入的应为(t+10)%10，解释：t>0时，对应位的结果就为t,t<0时，对应结果为t-10，借位
• 相减为负数的处理：加一个判断大小的函数，大的当减数，小的当被减数，为负的情况最后再输出的时候再先输出一个负号

3、模板展示

vector sub(vector&A,vector&B)
{
    vector C;
    int t=0;
    for(int i=0;i1&&C.back()==0) C.pop_back();
    return C;
}

4、习题练习

1、题目 Acwing 792. 高精度减法

给定两个正整数（不含前导 00），计算它们的差，计算结果可能为负数。

输入格式

共两行，每行包含一个整数。

输出格式

共一行，包含所求的差。

数据范围

1≤整数长度≤10的5次方

输入样例：

32
11

输出样例：

21

2、代码展示

#include 
#include 
using namespace std;
bool cmp(vector  &A,vector  &B)
{ 
    // 判断是否A > B
    if(A.size() != B.size()) return A.size() > B.size(); 
    // 如果A、B长度不相同，长度长的那个数大
    for(int i = A.size() - 1;i >= 0;i --)
    {  
// 否则就要从最高位开始看（因为执行这个函数前，A和B数组都已经倒序，所以这里要从后往前看）
        if(A[i] != B[i]) return A[i] > B[i];
        // 如果A的当前位和B的当前位不相等，当前位大的更大
    }
    return true; // 如果A、B数组都相等，这里可以直接返回true，当然也可以直接输出0
}
vector  sub(vector  &A,vector  &B)
{ 	// A - B

    int t = 0;                // 每一位上相减得到的数
    vector  C;           // 最后的答案
// 遍历一遍，和高精度加法不一样的是，只要遍历完A就行了，因为这里A肯定比B长
    for(int i = 0;i < A.size();i ++)
    { 
        t = A[i] - t;// t要等于A的当前位减掉自己，因为上一位有可能出现借位的情况
		if(i < B.size()) t -= B[i];  // 如果没有遍历完B，那么t减掉B的当前位
		 C.push_back((t + 10) % 10); 
        
        // 更新C数组
        // 这里如果没有借位，(t + 10) % 10就刚好等于t
        // 如果这里有借位，(t + 10) % 10就会借一个10下来
        
        if(t < 0) t = 1; 
 // 如果t < 0，说明不够减，需要借位，把t赋值为1，就是在下一次执行中，A的当前位会减掉t
        else t = 0;      // 否则够减，赋值为0，不用借位
    }
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); // 删除前导0
    return C; // 返回答案
}
int main(){
    string a,b;	   // 两个数，因为很大，所以用string来存
    cin>>a>>b; 		// 读入
    vector  A,B;   // 两个数，因为减法是从最低位开始减，我们可以把两个数倒过来
    for(int i = a.size() - 1;i >= 0;i --) A.push_back(a[i] - '0');
    // 把a数组到过来存入A，记得a是string类型的数组，要减去'0'让它变成数字
    for(int i = b.size() - 1;i >= 0;i --) B.push_back(b[i] - '0'); 
    // 把b数组倒过来存入B
    if(cmp(A,B))
    { 
        // 如果A > B
        auto C = sub(A,B); // 那么可以直接相减
        for(int i = C.size() - 1;i >= 0;i --) printf("%d",C[i]); 
        // 最后因为C是倒着的，需要反向输出
    }
    else
    {   // 否则A < B，需要计算-(B - A)
        auto C = sub(B,A); // 计算B - A
        printf("-"); // 给前面加上一个负号
        for(int i = C.size() - 1;i >= 0;i --) printf("%d",C[i]); // 反向输出C数组
    }
    return 0;
}

✨四、高精度乘法

高精度乘法就没什么好说的，直接上习题，代码有讲解

1、题目 Acwing 793. 高精度乘法

给定两个非负整数（不含前导 0)A和 B，请你计算 A×B 的值。

输入格式

共两行，第一行包含整数 A，第二行包含整数 B。

输出格式

共一行，包含 A×B 的值。

数据范围

1≤A的长度≤100000
0≤B≤100000

输入样例：

2
3

输出样例：

6

2、代码展示

#include
#include
#include
using namespace std;
vector mul(vector&A,int b)
{
    vector C;
    int t=0;//进位
    //A的长度一定比b长，而且这里加了`||t`
    for(int i=0;i1&&C.back()==0) C.pop_back();
    return C;
}
int main()
{
    string a;
    int b;
    cin>>a>>b;
    vector A;
    //倒序
    for(int i=a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');
    auto C=mul(A,b);
    for(int i=C.size()-1;i>=0;i--) cout<

✨五、高精度除法

1、模拟与算法

我们先模拟一下

需要注意的就两点：第一个：余数r传入函数的时候一定要传入引用，因为要修改并返回r的值

第二个：上一位的余数乘以10，再加上当前位上的数就是余数

2、题目 Acwing 794. 高精度除法

给定两个非负整数（不含前导 00） A，B，请你计算 A/B的商和余数。

输入格式

共两行，第一行包含整数 A，第二行包含整数 B。

输出格式

共两行，第一行输出所求的商，第二行输出所求余数。

数据范围

1≤A的长度≤100000
1≤B≤10000
B不一定不为 0

输入样例：

7
2

输出样例：

3
1

3、代码展示

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
vector  div(vector  &A,int b,int &r)
{ 
    // 取r的地址符，是为了更改r的值，方便后面输出余数
    vector  C; // 答案
    r = 0; // 余数
    for(int i = A.size() - 1;i >= 0;i --)
    { 
        // 从最高位开始处理
        r = r * 10 + A[i]; // 上一次的余数乘10，再加上当前位上的数，就是被除数
        C.push_back(r / b); // 往C里压入这个被除数除b
        r %= b; // 计算余数
    }
    reverse(C.begin(),C.end()); 
    // 因为除法运算中从高位开始计算，而前导0都在顶部而不是底部，所以要翻转过来
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); // 去除前导0
    return C; // 返回答案
}
int main()
{
    string a;
    int b;
    cin>>a>>b;
    vector  A;
    for(int i = a.size() - 1;i >= 0;i --) A.push_back(a[i] - '0'); // 倒序
    int r;
    auto C = div(A,b,r); // 答案
    for(int i = C.size() - 1;i >= 0;i --) cout<