本次讲座，将分为4个部分：
① 思维训练，练什么？
② 如何训练 - 准备篇
③ 如何训练 - 选题篇
④ 如何训练 - 做题篇
Part 1： 思维训练，练什么？
我们说“智力提升”，那“智力”是什么？
当代智力的系统理论中，有两个流传较广，一个是加德纳的多元智能理论，另一个是斯滕伯格的智力三元论。
不管是哪个智力体系，智力最终都会体现在认知能力上。
而心理学认为，“思维”是人类认识世界的最高级的形式。所以，我们往往把“智力素质提升”，与“思维训练”等效起来。
我们听过“逻辑思维”、“创造性思维”、“批判性思维”、“形象思维”、“抽象思维”，甚至“数学思维”、“科学思维”等等。那“思维”又是什么？
我们不必太纠结思维的定义与分类。事实上，不同心理学教材，给出的思维定义与分类，也不相同。
但几乎所有对思维的讨论，都会落实到几个典型的智力活动上：
概念形成、逻辑推理、问题解决、创造与发现、判断与决策
一个人无论受教育与否，都存在思维。我们真正训练的，是如何“更有效地思维”。
我去年结合课程教学目标，总结了一个思维方法框架：
上述思维方法框架，需要在多年的教学、学习实践中，逐步得到提升。
如果希望思维训练有一个更简单的抓手，可以从“聪明”的两个层面出发：
① 思维的活； ② 思维的深刻与准确
今天的分享，也以这两个方面为抓手，进行适当展开。
Part 2：如何训练 - 准备篇
“思维训练”必须提前做好两点准备，否则效果很难体现。
第一点是：给孩子营造一个允许犯错、关注成长的环境。我经常跟孩子们说一句话：大家不要怕犯错，我们课堂上鼓励犯错，要从错误中思考、从错误中学习。
为什么需要强调这一点？
因为在现实生活中，犯错犹如洪水猛兽，避之不及犯错意味着表现差，常伴随批评、轻视，对一个人能力的否定。久而久之，孩子会害怕表达，害怕被评价，遇到困难很容易放弃，形成“僵固式思维模式”。
而一个允许犯错、关注成长的环境，则让孩子更愿意表达、输出，在犯错后态度更加积极，面对困难也更有毅力。而这样的思考模式，叫做“成长式思维模式”。
斯坦福大学教授，乔·博勒在《这才是数学（教师篇）》一书中，给出了一个实验对比结果，"成长式思维模式"往往会比“僵固式思维模式”的学生有更好的成绩，而且会持续进步。
所以，“思维训练”最重要的前提之一：允许犯错，肯定错误的价值，基于错误反馈进行调整、再行动。
第二点是：输出比输入更重要。思维训练，绝不是简单的信息接收。我告诉你如何思考，你就学会如何思考了？这绝不可能。
思维训练需要伴随一系列的，尝试、失败、反思、调整、再尝试的过程，逐步领悟某个思维方法，形成特定的思维模式。因此，思维训练的过程，需要学生持续输出。
对于问题，要先自己思考、探索，并将想法表达出来；
遇到困难，可尝试转化为相关问题，或尝试描述自己遇到的困难；
课程中，持续思考，与老师、同学碰撞讨论；
课后，再次整理课堂所学、所思，甚至继续拓展研究。
以下两张图，是我们班上同学们课前、课后输出的内容：
有了这两点基础准备后，我们再简单讨论一下“如何选题”与“如何做题”。
Part 3：如何训练 - 选题篇
“实战解题”是思维训练最重要的环节之一。
题做太少不行，过多也无必要。题不求多，但求精彩！-- 孙维刚
这有点像吃饭，吃不饱不好，但过饱，甚至饱了还往肚子里塞，后塞进去的食物不但不会被吸收，甚至会引起肠胃功能紊乱。同时，吃很多营养价值低的食物，不如吃适量的高营养食物。当然，营养的多样化又比单调更好。
那如何选题，有利于思维训练呢？
小学阶段，孩子们有时间去乱想，尽量给孩子一个在好奇心驱使下、探索未知的童年。所以，小学思维训练选题，建议：
不选复述性题目，少选知识套用的题目；
对概念、方法复述的题目，对理解知识、培养思维几乎无作用；
在多样化场景中应用知识，有利于弄清知识的不同侧面、加深理解，不过对思维训练帮助不大。
选择充满活力、层次丰富的题目，这类题目往往有如下特点：
①易上手、难吃透；②思考灵活、层次丰富；③有思维挑战，且阻碍并非来自知识。
在此基础上，如果还能增加一些趣味性（情景化、游戏化）就更好了。
提醒：脑筋急转弯不宜多做，大多数脑筋急转弯都是偷换概念。做多了脑筋急转弯，容易造成一种只是在抬杠，却看起来很聪明的错觉。这种聪明看似灵活，却很表浅。
数学这个学科本身就充满活力、层次丰富，因此很多数学问题都能用于思维训练。例如马丁加德纳的趣味数学经典汇编。（不过这套书对学生来说难度太大，适合老师基于经典素材进行改编，再带着孩子探索）
同样兼具趣味与探索性，且有一定难度的题，可在下面的书中找到不少：
不过上面这些书里的经典谜题，大多对孩子都有较大难度，需要成年人带领思考。又因为经典题目层次较为丰富，如果有经验丰富的老师带领讨论，效果更佳。
还有一些优质题目资源，如TED-ED的riddle系列，对许多经典谜题进行的改编，添加了趣味情景
当然，还有很多奥数题目，本身是非常好的题，却让学生做简单的模型套用，浪费了宝贵的思维训练机会。（这个我们会在Part 4简单讨论）
中学阶段，孩子们课业任务加重，数学也会向着抽象、综合的方向改变，因此更适合通过“学科知识”来发展智力素质
1.要选综合性强、充满活力的题目
2.选择有一定分析性的典型题目
3.适当选择部分竞赛题
4.把经典知识，变为经典题目
前3点先不解释了。我重点说一下第4点。
我们教材中的很多知识，都是经过历史上很多数学家的探索、筛选后，留下的经典。这些知识蕴含了很多有价值的数学思想，本身也是很好的思维训练素材。
遗憾的是，大部分的教学过程，都是让学生们直接接受，然后就开始套用。从思维训练的角度来说，这也是一种浪费。
举个例子，
笛卡尔在发明平面直角坐标系，是希望把几何问题转化为代数问题解决。而平面直角坐标系，现在也成为数形结合思想的典型代表。如果我们从笛卡尔的角度，分析他想要解决的问题、遇到的困难，有助于我们学习他深刻的数学思想，获得解决问题的宝贵经验。
又例如欧几里得的平面几何体系，是第一个完整的公理化体系。孙老师当年要求学生，书本上的所有定理都要自己证明。这个证明过程，除了能感受经典数学的智慧、构建完整的知识体系，对思维的严谨与深刻性的训练，也大有裨益。
对于初中物理的知识，也是如此。
物理学的知识，往往是从现象的观察出发，然后提出猜想、设计实验验证，逐步建立知识理论。这个发现原理的过程，是最能体现物理学科特点，也最利于思维能力锻炼的过程。
所以我们的物理系列课，引用了诺贝尔物理学奖获得者费曼的演讲题目 - 《发现的乐趣》。就是希望
让“发现的乐趣”，成为一种学习物理的方式，并在此过程中，培养科学素养、训练科学思维。
初中数学可参考的书目：
初中物理：
物理思维主要体现在两个方面：①物理图像的建立，②数学基本功。
物理素养的培养和数学还有所区别，这次时间有限，我们留到下一次，让孙振宇老师专门针对物理学习给大家做一次分享。
这个书单，是我给物理班的家长推荐的。和今天的主题不完全相符，更合科学素养相关，仅供参考。
Part 4：如何训练 - 做题篇
从关注“答案是什么”，到思考“怎么做”、“为什么”？
无论什么题，大家第一关心的，往往都是“答案是什么？”
我在思维训练课上，经常给孩子们强调：我们不关心答案是什么，而要关心怎么做，更要关心为什么这么做。
并非答案不重要。问题答案是一个具体、明确的目标，让思维训练有一个可落实的抓手。遗憾的是，答案的获得，往往也成为了思考问题的终点。
强调这句话的目的，是让孩子们把注意力，从“问题答案”，转向“解决问题的过程与方法”，以及“如何提炼这些思想方法”上。
此外，我们在探索完“答案是什么”、“怎么做”、“为什么”后，常常还会对问题有进一步的延申：
What else，还有其它解法吗？还有其它提问方式吗？
What if，如果***变为***，问题又会有何不同？
问题的解决，不应成为“思考的终点”；可通过孕育新问题，成为“探索的起点”
当然，在中学阶段，同学们时间更紧，任务更明确。
在初中，孙维刚老师在解题上倡导：“一题多解、多解归一、多题归一”。
一题多解并非追求数量，而是做深入的本质探讨。“一题多解”并不新鲜，很多参考书都有一题多解。
不过核心要点，并不在解法数量的多少，而是对每个解法作深入探讨，比较不同解法之间的异同、优劣。
把解法互相比较，提炼方法。对不同的解法进行比较，可加深对题目、解法本质的理解，也可促进不同知识之间联系的构建。
如果再在对比探究中进行抽象、提炼方法，还能进一步提高解题能力。
解题要走走停停，及时回首，有所发现、有所创造，从而有所进步。
对待错题，要善于反思，“吃一堑、长一智”。很多老师、家长都会要求孩子重做错题，把正确答案写在错题旁边。可下次遇到同类问题，还是会错！
错题最大的价值，是帮助我们更清楚地了解自己。了解知识的记忆、理解、应用情况，了解自己的习惯、思维水平如何。
所以，正确的做法是，去分析错误的第一层原因、第二层原因……重要的是，要通过反思，在认识上有所提高。
时间原因，还有很多解题理念我就不一一展开了。
下面我具两个具体例子，希望帮助大家感受思维训练的过程。
思维的活 - 示例
我们前面提到过，聪明的第一个层次，是思维的活。
思维的活，就是始终处于“浮想联翩、思潮如涌”的状态，总能想到别人想不到的角度，将看似不相关的知识联系起来。
举例：阿咚在放学回家的路上，突然接到爸爸的电话，可以在中途带他回家。请问，阿咚为了尽快到家，应该往回走快点坐上车，还是原地等待，还是继续朝着家走呢？
对于本问题，孩子们选哪个答案的都有，而且都能给出看似合理的理由。那究竟哪种选择最好呢？
解法1：建立数学模型，进行代数运算
解法2：一般到具体，设具体的数值，进行计算（过程略）
这两个方法都能得到正确答案，不过都比较复杂，解法1更是超出了小学生的数学水平。
那这个问题还有其它的思考角度吗？
我们搭一个小模型，来做个实验，仔细观察一下：
（待补）
实验结果表明，不管作何选择，到家的时间都一样！为什么呢？
如果我们仔细观察，不管什么情况，总的时间都等于车从当前位置开到家的时间。就算考虑车接人会有停留，也只是在总时间上再加上了相同的“停留时间”。选择往回、不动，还是继续前行，只会影响车接人的“停留时间”发生在哪里，并不影响到家的总时间。
如果问题到这里就停止了，就略显无趣了。一个好问题，不应该以获得答案作为终点。而是以更多问题的提出，作为新的起点！
如果爸爸的车遇到堵车怎么办？
如果路上有多段红绿灯，充分利用红绿灯的停留时间来上车，是否效率更高？
如果阿咚已经离家很近了，继续走几步就到了，还需要等爸爸吗？
（接上一问题）阿咚距离家多远时，应选择继续走？
……
上面的问题都是孩子们在课堂上提出来的！
训练思维的活，首先要给孩子一个放飞想象力的环境。在这里，允许不着边际的思考，鼓励天马行空的联想。解决问题时，从不同角度去分析，又条条大路通罗马；问题解决后，也不因获得答案而结束，而是通过孕育新的问题，保持其生命力~
思维的深刻 - 示例
聪明的第二个层次，是思维的深刻与准确。分析问题时，总能深入本质、切中要害。
举例：上图是一个经典的奥数问题，蚂蚁Alice从左下角出发，要去右上角的Bob家，问最短路径有几条？
很多同学在奥数中学过“标数法”，于是按标数法计算，得到结果20条（如下图）：
这算不算聪明？
完全算不上！既没有体现思维的活，也没有体现思维的深刻。只是套用了“模型”，做了简单的加法而已。
但如果学生问：
为什么每个点的数字，都等于左侧+下侧数字的和？
为什么数字关于Alice与Bob的对角连线，完全对称？
这就开始往“本质而深刻”的方向前行了。
如果进一步思考，不管怎么走，都是走6步，而且这6步中，一定是向上3步、向右3步。把问题转化为“6步中选择哪3步向上”的组合问题，于是结果是C(6,3)=(6×5×4)÷(3×2×1)=20.
这样，对问题的认识就更加本质、更加
当然，我们还可以继续追问，为什么组合的公式是这样计算的？
因此，训练思维的深刻，首要任务，就是鼓励孩子“凡事多问为什么”！
没有没有为什么的时候，没有没有为什么的地方！-- 孙维刚
灵活与深刻的交织
如果我们把问题改一下，Alice和Bob同时出发，去找对方（直奔对方而去，不绕弯）。问它们在中途相遇，有多少种不同的情况？（Alice或Bob的路径不同，就是不同情况）
解决这个问题，首先我们要识别出相遇点。
根据对称性，不难猜到，它们的相遇点在关于Alice和Bob的对称轴上。证明也不难，它们同时出发，相遇时行动的步数相同（各走3步），而走3步一定会走到对称的4个点上。
再根据分类相加、分步相乘的计数原理，它们相遇的情况数=1×1+3×3+3×3+1×1=20.
上面的求解过程并不简单。若是完整理解，孩子的收获已经很大了。
然而，这时候居然有孩子提出：“老师，为什么Alice和Bob相遇的情况数，刚好等于Alice单独到Bob家去的情况数啊？”
这是一个巧合吗？
不是，不管把问题改为2×2、4×4的方格，还是改成任意不规则的形状，这两个数字都是相等的。即：Alice和Bob在中途相遇的情况数 = Alice单独去Bob家的情况数。
为什么？凭什么它们相等？
如果换个角度思考，答案就很直观了。
把Alice与Bob相遇的情况，理解为Bob帮Alice完成了后半程。
本质上，两个不同的问题，走过的都是同一条路。区别仅仅是，这条路由Alice独自走完，还是Alice和Bob一起走完！
多么奇妙的解法，既体现了思维的活（换个角度看问题），又如此的深刻、本质！
解题是一场智力较量的探索之旅，而孩子的思维，就是在这样有生命力的探究讨论中，不断提升的！
好，以上就是今天分享的主要内容。时间有限，有关思维训练的很多细节，都无法详细展开。
这是今天这次分享的整体框架。
最后给大家提供一个供参考的行动清单：
1.做好心态准备（允许犯错、鼓励输出）
2.买适合孩子的书（参考上面的推荐）
3.行动起来，开始练习（行动中逐步领会如何更有效的解题）
4.基于错误和问题，不断调整
5.及时总结、归纳模型，提炼思想
正如前面提到的，思维训练是一个，需要在合适的环境中，持续输出的过程。希望讲座过后，有更多的家长能够带着孩子行动起来，在实践中提升思维！