数据结构与算法之路

本文优化自:https://www.cnblogs.com/ComputerG/archive/2010/05/17/1737050.html

初级阶段可以参考:https://blog.csdn.net/m0_46521785/article/details/107971893

第一阶段:练经典常用算法

下面的每个算法给我打上十到二十遍,同时自己精简代码,

因为太常用,所以要练到写时不用想,10-15分钟内打完,甚至关掉显示器都可以把程序打出来.

  • 最短路(Floyd、Dijstra,BellmanFord)

  • 最小生成树(先写个prim,kruscal要用并查集,不好写)

  • 大数(高精度)加减乘除

  • 二分查找. (代码可在五行以内)

  • 叉乘、判线段相交、然后写个凸包.

  • BFS、DFS,同时熟练hash表(要熟,要灵活,代码要简)

  • 数学上的有:辗转相除(两行内),线段交点、多角形面积公式.

  • 调用系统的qsort, 技巧很多,慢慢掌握.

  • 任意进制间的转换


第二阶段:练习复杂一点,但也较常用的算法。

  • 二分图匹配(匈牙利),最小路径覆盖

  • 网络流,最小费用流。

  • 线段树.

  • 并查集。

  • 熟悉动态规划的各个典型:LCS、最长递增子串、三角剖分、记忆化dp

  • 博弈类算法。博弈树,二进制法等。

  • 最大团,最大独立集。

  • 判断点在多边形内。

  • 差分约束系统.

  • 双向广度搜索、A*算法,最小耗散优先.


初级

一.基本算法:

(1)枚举. (poj1753,poj2965) (2)贪心(poj1328,poj2109,poj2586)

(3)递归和分治法. (4)递推.

(5)构造法.(poj3295) (6)模拟法.(poj1068,poj2632,poj1573,poj2993,poj2996)

二.图算法:

  • 图的深度优先遍历和广度优先遍历.

  • 最短路径算法(dijkstra,bellman-ford,floyd,heap+dijkstra)

    (poj1860,poj3259,poj1062,poj2253,poj1125,poj2240)

  • 最小生成树算法(prim,kruskal)

    (poj1789,poj2485,poj1258,poj3026)

  • 拓扑排序 (poj1094)

  • 二分图的最大匹配 (匈牙利算法) (poj3041,poj3020)

  • 最大流的增广路算法(KM算法). (poj1459,poj3436)

三.数据结构.

  • 串 (poj1035,poj3080,poj1936)

  • 排序(快排、归并排(与逆序数有关)、堆排) (poj2388,poj2299)

  • 简单并查集的应用.

  • 哈希表和二分查找等高效查找法(数的Hash,串的Hash)

    (poj3349,poj3274,POJ2151,poj1840,poj2002,poj2503)

  • 哈夫曼树(poj3253)

  • trie树(静态建树、动态建树) (poj2513)

四.简单搜索

  • 深度优先搜索 (poj2488,poj3083,poj3009,poj1321,poj2251)

  • 广度优先搜索(poj3278,poj1426,poj3126,poj3087.poj3414)

  • 简单搜索技巧和剪枝(poj2531,poj1416,poj2676,1129)

五.动态规划

  • 背包问题. (poj1837,poj1276)

  • 型如下表的简单DP(可参考lrj的书 page149):

    • 1.E[j]=opt{D+w(i,j)} (poj3267,poj1836,poj1260,poj2533)
    • 2.E[i,j]=opt{D[i-1,j]+xi,D[i,j-1]+yj,D[i-1][j-1]+zij} (最长公共子序列) (poj3176,poj1080,poj1159)
    • 3.C[i,j]=w[i,j]+opt{C[i,k-1]+C[k,j]}.(最优二分检索树问题)

六.数学

  • 组合数学:

    • 1.加法原理和乘法原理.
    • 2.排列组合.
    • 3.递推关系. (POJ3252,poj1850,poj1019,poj1942)
  • 数论.

    • 1.素数与整除问题
    • 2.进制位.
    • 3.同余模运算. (poj2635, poj3292,poj1845,poj2115)
  • 计算方法.

    • 1.二分法求解单调函数相关知识.(poj3273,poj3258,poj1905,poj3122)

七.计算几何学

  • 几何公式.

  • 叉积和点积的运用(如线段相交的判定,点到线段的距离等). (poj2031,poj1039)

  • 多边型的简单算法(求面积)和相关判定(点在多边型内,多边型是否相交) (poj1408,poj1584)

  • 凸包. (poj2187,poj1113)


中级:

一.基本算法:

  • C++的标准模版库的应用. (poj3096,poj3007)
  • 较为复杂的模拟题的训练(poj3393,poj1472,poj3371,poj1027,poj2706)

二.图算法:

  • 差分约束系统的建立和求解. (poj1201,poj2983)

  • 最小费用最大流(poj2516,poj2516,poj2195)

  • 双连通分量(poj2942)

  • 强连通分支及其缩点.(poj2186)

  • 图的割边和割点(poj3352)

  • 最小割模型、网络流规约(poj3308, )

三.数据结构.

  • 线段树. (poj2528,poj2828,poj2777,poj2886,poj2750)
  • 静态二叉检索树. (poj2482,poj2352)
  • 树状树组(poj1195,poj3321)
  • RMQ. (poj3264,poj3368)
  • 并查集的高级应用. (poj1703,2492)
  • KMP算法. (poj1961,poj2406)

四.搜索

  • 最优化剪枝和可行性剪枝
  • 搜索的技巧和优化 (poj3411,poj1724)
  • 记忆化搜索(poj3373,poj1691)

五.动态规划

  • 较为复杂的动态规划(如动态规划解特别的施行商问题等)

    (poj1191,poj1054,poj3280,poj2029,poj2948,poj1925,poj3034)

  • 记录状态的动态规划. (POJ3254,poj2411,poj1185)

  • 树型动态规划(poj2057,poj1947,poj2486,poj3140)

六.数学

  • 组合数学:

    • 1.容斥原理.
    • 2.抽屉原理.
    • 3.置换群与Polya定理(poj1286,poj2409,poj3270,poj1026).
    • 4.递推关系和母函数.
  • 数学.

    • 1.高斯消元法(poj2947,poj1487, poj2065,poj1166,poj1222)
    • 2.概率问题. (poj3071,poj3440)
    • 3.GCD、扩展的欧几里德(中国剩余定理) (poj3101)
  • 计算方法.

    • 1.0/1分数规划. (poj2976)
    • 2.三分法求解单峰(单谷)的极值.
    • 3.矩阵法(poj3150,poj3422,poj3070)
    • 4.迭代逼近(poj3301)
  • 随机化算法(poj3318,poj2454)

  • 杂题.

    (poj1870,poj3296,poj3286,poj1095)

七.计算几何学.

  • 坐标离散化.

  • 扫描线算法(例如求矩形的面积和周长并,常和线段树或堆一起使用).

    (poj1765,poj1177,poj1151,poj3277,poj2280,poj3004)

  • 多边形的内核(半平面交)(poj3130,poj3335)

  • 几何工具的综合应用.(poj1819,poj1066,poj2043,poj3227,poj2165,poj3429)


高级:

一.基本算法要求:

  • 代码快速写成,精简但不失风格

    (poj2525,poj1684,poj1421,poj1048,poj2050,poj3306)

  • 保证正确性和高效性. poj3434

二.图算法:

  • 度限制最小生成树和第K最短路. (poj1639)

  • 最短路,最小生成树,二分图,最大流问题的相关理论(主要是模型建立和求解)

    (poj3155, poj2112,poj1966,poj3281,poj1087,poj2289,poj3216,poj2446

  • 最优比率生成树. (poj2728)

  • 最小树形图(poj3164)

  • 次小生成树.

  • 无向图、有向图的最小环

三.数据结构.

  • trie图的建立和应用. (poj2778)

  • LCA和RMQ问题(LCA(最近公共祖先问题) 有离线算法(并查集+dfs) 和 在线算法

    (RMQ+dfs)).(poj1330)

  • 双端队列和它的应用(维护一个单调的队列,常常在动态规划中起到优化状态转移的目的). (poj2823)

  • 左偏树(可合并堆).

  • 后缀树(非常有用的数据结构,也是赛区考题的热点).

    (poj3415,poj3294)

四.搜索

  • 较麻烦的搜索题目训练(poj1069,poj3322,poj1475,poj1924,poj2049,poj3426)

  • 广搜的状态优化:利用M进制数存储状态、转化为串用hash表判重、按位压缩存储状态、双向广搜、A*算法.

    (poj1768,poj1184,poj1872,poj1324,poj2046,poj1482)

  • 深搜的优化:尽量用位运算、一定要加剪枝、函数参数尽可能少、层数不易过大、可以考虑双向搜索或者是轮换搜索、IDA*算法. (poj3131,poj2870,poj2286)

五.动态规划

  • 需要用数据结构优化的动态规划.

    (poj2754,poj3378,poj3017)

  • 四边形不等式理论.

  • 较难的状态DP(poj3133)

六.数学

  • 组合数学.

    • 1.MoBius反演(poj2888,poj2154)
    • 2.偏序关系理论.
  • 博奕论.

    • 1.极大极小过程(poj3317,poj1085)
    • 2.Nim问题.

七.计算几何学.

  • 半平面求交(poj3384,poj2540)

  • 可视图的建立(poj2966)

  • 点集最小圆覆盖.

  • 对踵点(poj2079)

八.综合题.

(poj3109,poj1478,poj1462,poj2729,poj2048,poj3336,poj3315,poj2148,poj1263)

相关的知识

图论

  • 路径问题
    0/1边权最短路径
    BFS
    非负边权最短路径(Dijkstra)
    可以用Dijkstra解决问题的特征
    负边权最短路径
    Bellman-Ford
    Bellman-Ford的Yen-氏优化
    差分约束系统
    Floyd
    广义路径问题
    传递闭包
    极小极大距离 / 极大极小距离
    Euler Path / Tour
    圈套圈算法
    混合图的 Euler Path / Tour
    Hamilton Path / Tour
    特殊图的Hamilton Path / Tour 构造
  • 生成树问题
    最小生成树
    第k小生成树
    最优比率生成树
    0/1分数规划
    度限制生成树
  • 连通性问题
    强大的DFS算法
    无向图连通性
    割点
    割边
    二连通分支
    有向图连通性
    强连通分支
    2-SAT
    最小点基
  • 有向无环图
    拓扑排序
    有向无环图与动态规划的关系
  • 二分图匹配问题
    一般图问题与二分图问题的转换思路
    最大匹配
    有向图的最小路径覆盖
    0 / 1矩阵的最小覆盖
    完备匹配
    最优匹配
    稳定婚姻
  • 网络流问题
    网络流模型的简单特征和与线性规划的关系
    最大流最小割定理
    最大流问题
    有上下界的最大流问题
    循环流
    最小费用最大流 / 最大费用最大流
  • 弦图的性质和判定

组合数学

  • 解决组合数学问题时常用的思想
    • 逼近
    • 递推 / 动态规划
  • 概率问题
    • Polya定理

计算几何 / 解析几何

  • 计算几何的核心:叉积 / 面积
  • 解析几何的主力:复数
  • 基本形

    直线,线段
    多边形
  • 凸多边形 / 凸包
    凸包算法的引进,卷包裹法
  • Graham扫描法
    水平序的引进,共线凸包的补丁
  • 完美凸包算法
  • 相关判定
    两直线相交
    两线段相交
    点在任意多边形内的判定
    点在凸多边形内的判定
  • 经典问题
    最小外接圆
    近似O(n)的最小外接圆算法
    点集直径
    旋转卡壳,对踵点
    多边形的三角剖分

数学 / 数论

  • 最大公约数
    • Euclid算法
      • 扩展的Euclid算法
        • 同余方程 / 二元一次不定方程
        • 同余方程组
  • 线性方程组
    高斯消元法
    解mod 2域上的线性方程组
    整系数方程组的精确解法
  • 矩阵
    • 行列式的计算
      • 利用矩阵乘法快速计算递推关系
  • 分数
    分数树
    连分数逼近
  • 数论计算
    • 求N的约数个数
    • 求phi(N)
    • 求约数和
    • 快速数论变换
    • ……
  • 素数问题
    • 概率判素算法
    • 概率因子分解

数据结构

  • 组织结构
    • 二叉堆
    • 左偏树
    • 二项树
    • 胜者树
    • 跳跃表
    • 样式图标
    • 斜堆
    • reap
  • 统计结构
    • 树状数组
    • 虚二叉树
    • 线段树
      • 矩形面积并
      • 圆形面积并
  • 关系结构
    • Hash表
    • 并查集
      • 路径压缩思想的应用
  • STL中的数据结构
    • vector
    • deque
    • set / map
  • 动态规划 / 记忆化搜索
    • 动态规划和记忆化搜索在思考方式上的区别
    • 最长子序列系列问题
    • 最长不下降子序列
    • 最长公共子序列
    • 最长公共不下降子序列
    • 一类NP问题的动态规划解法
    • 树型动态规划
    • 背包问题
    • 动态规划的优化
      • 四边形不等式
      • 函数的凸凹性
      • 状态设计
      • 规划方向

线性规划

  • 常用思想
    二分 最小表示法

  • KMP Trie结构
    后缀树/后缀数组 LCA/RMQ
    有限状态自动机理论
  • 排序
    选择/冒泡 快速排序 堆排序 归并排序
    基数排序 拓扑排序 排序网络

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