动态规划——线性dp

基于数字三角形问题扩展

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$参考闫氏dp分析法$

方格取数

$f[i1][j1][i2][j2]表示（1,1）到（i1,j1）和（1,1）到(i2,j2)和的最大值$
$利用最后一步不同的思想，找个集合可以由四种状态转移过来$
$分别是(i1,j1)由(i1-1,j1)向下得来或者(i1,j1-1)向右得来的两种情况和(i2,j1)分别由(i2-1,j2),(i2,j2-1)两种情况组合而成$
$这个题还有个限制就是每个方格只能取一次，所有(i1,j1),(i2,j2)到了相同的点只需要加一次权值$

四维代码

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#include

using namespace std;

const int N = 12;

int n, x, y, c;

int f[N][N][N][N];

int w[N][N];

int main(){
    
    cin >> n;
    
    while((cin >> x >> y >> c), (x && y && c)){
        w[x][y] = c;
    }
    
    for(int i1 = 1; i1 <= n; i1 ++)
    {
        for(int j1 = 1; j1 <= n; j1 ++)
        {
            for(int i2 = 1; i2 <= n; i2 ++)
            {
                for(int j2 = 1; j2 <= n; j2 ++)
                {
                    int &v = f[i1][j1][i2][j2];
                    v = f[i1-1][j1][i2-1][j2] + w[i1][j1];
                    v = max(f[i1][j1-1][i2-1][j2] + w[i1][j1], v);
                    v = max(f[i1-1][j1][i2][j2-1] + w[i1][j1], v);
                    v = max(f[i1][j1-1][i2][j2-1] + w[i1][j1], v);
                    if(i1 != i2 && j1 != j2)
                    {
                        v += w[i2][j2];
                    }
                }
            }
        }
    }
    cout << f[n][n][n][n];
    return 0;
    
}

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$四维的f[i1][j1][i2][j2]是(1,1)(1,1)到(i1,j1)(i2,j2)路线的集合$
$我们发现重合点一定是偏移量相同时(i1+j1==i2+j2)才可能重合$
$上面那个思路i1+j1和i2+j2是没关系的，但我们可以加一个k当作偏移量$
$k=i1+j1=i2+j2$
$这样f[k][i1][i2]就相当于偏移量相同的(1,1)(1,1)到(i1,k-i1)(i2,k-i2)$
$这样我们就实现了代码的优化$
三维代码

#include

using namespace std;

const int N = 25;

int n, x, y, c;

int f[N][N][N];

int w[N][N];

int main(){
    
    cin >> n;
    
    while((cin >> x >> y >> c), (x && y && c)){
        w[x][y] = c;
    }
    
    //k是x+y的偏移量(i1,j1),(i2,j2)都是k偏移量时的最大和
    for(int k = 2; k <= n << 1; k ++)
    {
        for(int i1 = 1; i1 <= n; i1 ++)
        {
            for(int i2 = 1; i2 <= n; i2 ++)
            {
                int j1 = k - i1;
                int j2 = k - i2;
                if(j1 >=1 && j1 <= n && j2 >=1 && j2 <= n)
                {
                    int &v = f[k][i1][i2];
                    int tem = w[i1][j1];
                    v = max(v, f[k-1][i1-1][i2-1] + tem);
                    v = max(v, f[k-1][i1][i2] + tem);
                    v = max(v, f[k-1][i1][i2-1] + tem);
                    v = max(v, f[k-1][i1-1][i2] + tem);
                    
                    if(i1 != i2) v += w[i2][j2];
                }
            }
        }
    }
    
    cout << f[2*n][n][n] << endl;
    return 0;
    
}

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$扩展$
$传字条的题目与这个题目的区别就是重复的点不可以过，而这个题是重复的点可以过但取为0$
$但是相同的代码可以同样ac原因就是在递推的过程中虽然枚举了重复的点，但这个重复的点一定不是最优解，会被最终的最优解覆盖掉，最终答案也一定是不含重复点的两条路线的最大和$