【图论】图的定义和术语

本文为图论总结,介绍基本的图的定义和术语及简单定理。

基本术语

序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径

顶点 v v v 的所有相邻顶点集合记作 N ( v ) N(v) N(v)

将度为 0 的顶点称为孤立的,度为 1 度顶点称为悬挂的。入度记作 deg ⁡ − ( v ) \deg^-(v) deg(v),出度记作 deg ⁡ + ( v ) \deg^+(v) deg+(v)

对于有向图,忽略有向边后得到的无向图称为基本无向图

握手定理

G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 是有 m m m 条边的无向图则:
2 m = ∑ v ∈ V deg ⁡ ( v ) 2m=\sum\limits_{v\in V}\deg (v) 2m=vVdeg(v)
即使出现多重边和环,上式依然成立。直观解释是:每条边贡献 2 个度

有向图的握手定理
∑ v ∈ V deg ⁡ − ( v ) = ∑ v ∈ V deg ⁡ + ( v ) = ∣ E ∣ \sum\limits_{v\in V}\deg^-(v)=\sum\limits_{v\in V}\deg^+(v)=|E| vVdeg(v)=vVdeg+(v)=E

连通图

如果任意两个顶点都是连通的,则图称为连通图

连通分量指的是无向图中的极大连通子图

有向图中,如果每对顶点间都存在路径,则称为强连通图。有向图中的极大连通子图称作有向图的强连通分量

一个连通图的生成树极小连通子图,其含有图中全部顶点,但只有足以构成树的 n − 1 n-1 n1 条边。如果在生成树上加一条边,必定构成一个环。

如果一个图有 n n n 个顶点和小于 n − 1 n-1 n1 条边,则是非连通图。如果多于 n − 1 n-1 n1 条边,则一定有环。

如果恰有一个顶点的入度为 0,其余顶点的入度均为 1,则是一颗有向树

特殊的简单图

完全图

【图论】图的定义和术语_第1张图片

圈图

【图论】图的定义和术语_第2张图片

轮图

【图论】图的定义和术语_第3张图片

n n n 立方体

【图论】图的定义和术语_第4张图片

二分图

将简单图 G G G 的顶点集分成两个不相交的非空集合 V 1 , V 2 V_1,V_2 V1,V2,使得图中每一条边都各连接 V 1 , V 2 V_1,V_2 V1,V2 中的一个顶点(即两个非空子集内部顶点间没有边),则 G G G 称为二分图,称 ( V 1 , V 2 ) (V_1,V_2) (V1,V2) G G G 的顶点集的一个二部划分。

【图论】图的定义和术语_第5张图片

判断一个简单图是否为二分图的准则:一个简单图为二分图,当且仅当能够对图中每个顶点赋予两种不同的颜色,并使得没有两个相邻的顶点被赋予相同的颜色。

完全二分图 K m , n K_{m,n} Km,n 是顶点集划分成分别含有 m m m n n n 个顶点的两个子集的图,并且两个顶点之间有边当且仅当两个顶点属于不同的子集。

【图论】图的定义和术语_第6张图片

二分图和匹配

类似于给员工分配工作的问题,每个工作只能分配给一个员工,每个员工只能执行一个工作。匹配 M M M 就是图中边集 E E E 的子集,该子集没有两条关联相同的顶点。包含边数最多的匹配称为最大匹配

【图论】图的定义和术语_第7张图片

∣ M ∣ = ∣ V 1 ∣ |M|=|V_1| M=V1,则称 M M M 是从 V 1 V_1 V1 V 2 V_2 V2完全匹配霍尔婚姻定理给出了完全匹配的充要条件。

带有二部划分 ( V 1 , V 2 ) (V_1,V_2) (V1,V2) 的二分图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 中有一个从 V 1 V_1 V1 V 2 V_2 V2 的完全匹配当且仅当对于 V 1 V_1 V1 的所有子集 A A A,有 ∣ N ( A ) ∣ ≥ ∣ A ∣ |N(A)|\ge|A| N(A)A。直观解释是,在每个小区域内 A A A 的领域个数多余 A A A 集合中顶点个数,即每个小区域内 A A A 中顶点都能完全匹配。

从旧图构造新图

子图:从图中删除边和顶点,不删除保留边的端点。子图与原图不相等时称为真子图

导出的子图:只删除点及其连接的点生成出的子图。

边的收缩:删除端点为 u , v u,v u,v 的边 e e e,把 u , v u,v u,v 合并为新的顶点 w w w,对应边也进行合并。

图的并集:顶点和边集同时取并集

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