插值法和线性拟合 第二节

目录

2.1 插值多项式存在唯一性

2.2 Lagrange(拉格朗日)插值

 2.2.1 线性插值
 2.2.2 抛物插值
 2.2.3 Lagrange插值公式
 2.2.4 插值余项

2.3 Newton(牛顿)插值

 2.3.1 基函数
 2.3.2 差商的概念
 2.3.3 差商的性质
 2.3.4 Newton插值公式

2.4 Hermite(赫米特)插值

2.5 分段插值

 2.5.1 高次插值的Runge现象
 2.5.2 分段插值的概念
 2.5.3 分段线性插值
 2.5.4 分段三次Hermite插值

小结
习题

引用

共分五次
第一次　线性插值的唯一性和拉格朗日插值
第二次　牛顿插值
第三次　赫米特插值
第四次　分段插值
第五次　习题课和小结

Isaac Newton

  拉格朗日插值法优点在于简单易上手，有规律性，便于记忆和推导。但是，拉格朗日插值法有一个缺点，就是不具有承袭性，即增加插值节点后再拟合时，基函数 会改变，则不得不将所有基函数重新计算，而牛顿插值法则解决了这个问题，只需要计算新增项数的几个相干值即可。

2.3.1 基函数

[引入]求作n次多项式

使满足

为了简化，引入下列记号

就是多项式的第 i 项的非系数部分。
当是常数，且只与当前的插值节点相关时，再增加新的节点，只需计算和

此时，需要计算,引入差商的概念。

2.3.2 差商的概念

给定中互不相同的点,以及函数在这些点处对应的函数值。



...

综上，对于顺序排列的,由

2.3.3 差商的性质

• 线性性
• 对称性
• 降次性

(1)

证明使用数学归纳法

(2)
由性质一线性组合即可证明。

(3)

证明:

推论：若

2.3.4 Newton插值公式

由差商的定义


...

逐个带入，可知

故余项
遗憾的是，这个公式中的差商因带有而不能计算，只能得到解析表达式

解决方法:
利用
和余项
知，当
使得
根据上述关系，可将Newton插值公式改写为

综上

• 牛顿插值的同式为
• 可以利用差商的方法计算牛顿插值系数
• 余项为
  遗憾的是，这个公式中的差商因带有而不能计算，只能得到解析表达式
  知，当
  使得
  根据上述关系，可将Newton插值公式改写为
  

引用

1.《计算方法　第二版》崔国华　许如初著