高中奥数 2022-01-17

2022-01-17-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P052 习题09）

设是个不同的正整数.

证明:.

证明

不妨设.

当时,不等式成立;

假设不等式对成立,即,考虑形,只需证明:,这里,且.

注意到,所以,只需证明,这等价于,即只需证明:,这个不等式利用可得.

所以,原不等式对成立,获证.

2022-01-17-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P052 习题10）

实数数列 满足:

(1),,;

(2),.

证明:数列的每一项都是整数,并且对任意正整数,都有.

证明

由递推式可知 ,由初始条件结合数学归纳法得.于是,上式可变形为

依此倒推,可知,即,由此递推式及知都为整数,并且(注意,此式对也成立),可知对任意,为偶数,这样,是个偶数之积,于是.

2022-01-17-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P052 习题11）

设为给定的正整数,数列满足

证明:对任意不同的正整数、,数与互素.

证明

由递推式,知,于是,即

对任意、,,我们不妨设,则由(1)知

下证:对任意,都有.

当时,由知结论成立.

现设时成立,即,则.

所以,对任意,有.

利用上述结论知,进而.

2022-01-17-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P052 习题11）

数列满足

证明:对任意不大于13的素数,数列中有无穷多项是的倍数.

证明

对照第1节例5.试算的最初21项,它们的值依次为,其中分别是的倍数.

因此,对任意,都有一项为的倍数.

如果,那么我们从出发找到了下个p的倍数.

如果,那么由递推式及知,记它们除以所得余数为,同例题一样讨论,下面的13个数

在下分别与同余,而,故这13个数至少覆盖的一个完系,这样,从出发就可找到下一个的倍数,命题获证.