Leetcode 198. 打家劫舍【动态规划】

Leetcode 198. 打家劫舍

中等题

题目

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

示例1

输入：[1,2,3,1]
输出：4
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
     偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例2

输入：[2,7,9,3,1]
输出：12
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。
     偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

提示

• 1 <= nums.length <= 100
• 0 <= nums[i] <= 400

解法

• 定义dp数组，dp[i]表示打劫到第i间房子为止的最大收获；限定条件是不能打劫相邻的两所房子；
• 如果打劫 i 房间，那么不能打劫 i-1 房间，此时dp[i] = dp[i-2]+nums[i-1]
• 如果不打劫 i 房间，那么就直接有dp[i] = dp[i-1]; 取两者最大值；
  转移方程
  $$dp[i]=max(dp[i-1],num+dp[i-2])$$
  逻辑细节：
  细心的我们发现： 难道在前 n 间的最高金额 dp[n]] 情况下，第 n 间一定被偷了吗？假设没有被偷，那 n+1 间的最大值应该也可能是 dp[n+1]=dp[n]+num吧？其实这种假设的情况可以被省略，这是因为：
  假设第 n 间没有被偷，那么此时 dp[n]=dp[n−1]，此时 dp[n+1]=dp[n]+num，即两种情况可以 合并为一种情况 考虑；
  假设第 n 间被偷，那么此时 dp[n+1]=dp[n]+num 不可取 ，因为偷了第 n 间就不能偷第 n+1 间。

class Solution:
    def rob(self, nums: List[int]) -> int:
        dp = [0 for _ in range(1+len(nums))]
        dp[1] = nums[0]
        for i in range(2,len(nums)+1):
            dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2]+nums[i-1])
        return dp[len(nums)]

• 时间复杂度 O(n)
• 空间复杂度 O(n)

压缩空间

dp[i]只与前两个值有关系，以此只需要两个变量记录即可；

class Solution:
        pre, cur, n = 0, nums[0], len(nums)
        for i in range(2,n+1):
            pre, cur = cur, max(pre+nums[i-1], cur)
        return cur

• 时间复杂度 O(n)
• 空间复杂度 O(1)