与光相关的理论

一、透明介质理论

1. 郎伯定律

di / dx = -KI

K为薄膜的吸收系数，其值通常为正，采用负号表示强度减小。对整个膜厚度进行积分得：

I = I_o e^-Kx
T_i = I / I_o = e^-Kx

此式即为朗伯定律的表达式，其中T_i 称为膜内部的透射率。

2. 比尔定律

当只有一种色料存在时，如果不考虑原来基底的颜色，则K正比于色料的浓度c，即K = kc，此处k为色料的单位浓度吸收系数，与浓度无关，它只决定于吸收介质的分子特性。

I = I_o e^-kcx

比尔定律只有在介质分子的吸收本领不受它周围邻近分子的影响时才是正确的。朗伯定律始终是成立的，比尔定律有时并不成立。

3. 边界反射对实验结果的影响

把由底面透出的光都加起来，则薄膜透射的光为：

T_t = (1 - K₁)² T_i ( 1 + K₁²T_i² + K₁⁴T_i⁴ + …… ) = (1 - K₁)² T_i /（1 - K₁²T_i²）

T_t可以表示薄膜的总透射率。其中T_i为内部透射率，K₁可由菲涅尔公式求得：K₁ = (n-1)² / (n+1)²，其中n为薄膜介质的折射率。

如果已知按光谱波长等间隔分布的所有色料的单位吸收系数及基底的吸收系数，则可以计算出该波长区的透射率曲线，对其积分可获得色料的三刺激值。

4. 吸收系数的确定

首先测量没有色料的基底的透射率，然后将测得的透射率转换成内透射率：
T_i = {[(1 - K₁)⁴ + 4K₁²T_t²]^1/2 - (1 - K₁)²} / 2K₁²T_t
之后根据郎伯定律求出K_tx，如果已知样品厚度x，则可以计算基底的吸收系数K_t。

为了计算每一种色料的吸收系数，在基底上制备已知浓度的只含一种色料的样品，测量样品的总透射率T_t，将其转换成内部透射率T_i 。然后如上所述，求得包括基底和色料的总吸收系数K。则可计算得色料的单位吸收系数k₁ = (K-K_t) / c₁。

二、混浊介质（半透明和不透明介质）理论

1. 库贝尔卡-蒙克理论

2. 双常数四通道理论

K-M理论在建立时假定照明入射光为完全漫射光，光线在薄膜内须被足够地散射，以致呈完全扩散的状态（漫射），光线在薄膜内的运行方向或所谓通道只考虑两个，一个朝上，一个朝下，并且垂直于界面。许多情况下使用光谱光度计测量时，照明光经常不是漫射光而是垂直于薄膜表面的准直光(作为平行光束入射膜)。对于吸收光不多的厚膜，在光进入膜不太深之前很快就被完全散射，并且遵从库贝尔卡-芒克理论。但是，如果膜很薄以至于光没有足够地散射或光在散射前就被吸收，这时将产生完全不同的结果。

双常数四通道模型（简称TF模型），导出了准直光入射条件下色料反射率与吸收系数和散射系数之比K/S的关系。

四通道模型示意图

四通道光经过无限薄层dx 的改变量为：

用矩阵形式表示为：dI / dx = AI，其中

b =(K + S)/ S，a² = b² - 1

微分方程的特征值方程为︱A - λE︱= 0，其中E为单位矩阵。求解得特征值λ₁ = bS，λ₂ = - bS，λ₃ = 2aS，λ₄ = - 2aS，对应特征矢量分别为：

则微分方程的通解为：

I = C₁q₁exp(bSx) + C₂q₂exp(-bSx) + C₃q₃exp(2aSx) + C₄q₄exp(-2aSx)

其中C₁，C₂，C₃，C₄为常数，它们的大小取决于边界条件。

下面讨论两种实际测量照明情况：
（1）准直光垂直入射
设入射为准直光I_oc (x = D处)，无漫射光即I_od = 0，则当基底反射率为零(x = 0处)，色料厚度为D时，可求得色料表面反射率R_c为：

当D→∞时，即无限厚反射率R_c∞为：

（2）漫射光入射
设入射为漫射光I_od (x = D处)，无准直光即I_oc = 0，则当基底反射率为R_dg (x = 0处)，色料厚度为D时，可求得色料表面反射率R_d为：

其中K／S = (1 – R_d∞)²／2R_d∞ ，R_d∞ 指无限厚漫射光反射率，考虑到漫射光的散射系数是准直光的二倍，R_c∞ 与K-M公式完全相同，说明双常数四通道模型包含了K-M模型，使K-M模型和Atherton模型得到了统一。