2019 第十届蓝桥杯省赛A组题解
本次试题难度（对专业算法竞赛选手来说）不大，但是考验基本的编程基本功和数学思维。估计完成80%即可获得省一进入决赛（根据一些公开的反馈，如果有准确数据请告诉我），因此更多的是需要细心。
至于C/C++还是Java我觉得不重要，因为题目除了顺序有点不同，内容是一样的。而且核心在于算法。
答案：2658417853
送分题。两重循环，大循环从 1 到 2019，小循环一依次剥离每一位（一直 % 10 后整除 10），进行判断，然后求和。
本题作为送分题，非常贴心加了一句最下面的一段话，差点就等同于“你给我用上 long long 啊”。如果不提示这句话，而且结果还是正的，不知道有多少选手会掉进陷阱。
代码：
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
ll ans = 0;
int is_2019(int x) {
while (x) {
int t = x % 10;
if (t == 2 || t == 0 || t == 1 || t == 9)
return 1;
x /= 10;
}
return 0;
}
int main() {
for (int i = 1; i <= 2019; i++)
if (is_2019(i)) ans += i * i;
cout << ans < 
答案：4659
类似于斐波那契数列。由于数据范围才是 2×107 ，完全可以暴力一重 O(n) 的复杂度循环解决，可以开数组记录 f[1]，f[2]...f[20190324]，注意每次加后要 mod 10000。也可以使用循环变量只记录计算到的前面三项节约内存空间。
其实对于这种题目，即使数据范围到 int （ 2×109 ），也是可以这么做，因为你可以挂机让电脑运算，跑个几分钟还是可以跑出来的。
但是，如果数据范围再大一些，就要用矩阵快速幂加速递推式了，不过也不算难。
代码：
#include
#include
using namespace std;
int main() {
int a, b, c, d;
a = b = 1;
c = 3;
for(int i = 4; i < 20190324; i++) {
d = (a + b + c) % 10000;
a = b;
b = c;
c = d;
}
cout << d << endl;
return 0;
}
答案：34
证明：
为了方便理解，假设每一周都是递增，且每一周的中位数都是递增。
要找中位数的中位数，那么必须红色区域（要求的）要小于绿色区域。而每行的绿色区域要小于同一行的黄色区域。因为红色区域是在这 16 个格子中最小的一个，根据贪心策略，答案就是 49-16+1。同时，剩下的部分就可以随便写了，不会影响到这个结果。
下面的具体数字略。
答案：DDDDRRURRRRRRDRRRRDDDLDDRDDDDDDDDDDDDRDDRRRURRUURRDDDDRDRRRRRRDRRURRDDDRRRRUURUUUUUUULULLUUUURRRRUULLLUUUULLUUULUURRURRURURRRDDRRRRRDDRRDDLLLDDRRDDRDDLDDDLLDDLLLDLDDDLDDRRRRRRRRRDDDDDDRR
求最短迷宫问题是广度优先搜索的入门题，所以直接进行广度优先搜索就是了。使用一个队列，将入口位置放入队首。
当队伍非空，或者找到答案时，循环截止。每次从队首出队，分别从 下、上、左、右 进行扩展，注意要使用 vis 数组记录是否已经访问过了，还要记录更新结点遇到的方向。
代码：
#include
#include
#include
using namespace std;
const int n = 30, m = 50;
int delta[4][2] = {{1, 0}, {0, -1}, {0, 1}, {-1, 0}};
int way[n + 5][m + 5], map[n + 5][m + 5], vis[n + 5][m + 5];
char cc[5] = "DLRU";
char ans[n * m + 5];
struct node {
int x, y;
};
int main() {
freopen("maze.txt", "r", stdin);
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < m; j++) {
char a = ' ';
while(a != '1' && a != '0')cin >> a;
map[i][j] = a == '1' ? 1 : 0;
}
queue q;
node tmp = {0, 0};
q.push(tmp);
vis[0][0] = 1;
while(!q.empty()) {
node now = q.front();
q.pop();
for(int k = 0; k < 4; k++) {
int x = now.x + delta[k][0], y = now.y + delta[k][1];
if(x < 0 || y < 0 || x >= n || y >= m
|| vis[x][y] || map[x][y])
continue;
vis[x][y] = 1, way[x][y] = k;
node tmp = {x, y};
q.push(tmp);
}
}
int x = n - 1, y = m - 1, num = 0;
while(x != 0 || y != 0) {
int k = way[x][y];
ans[num++] = cc[k];
x -= delta[k][0], y -= delta[k][1];
}
num--;
do {
cout << ans[num];
} while(num--);
return 0;
}
答案：579706994112328949
最大的问题是理解题意……不过理解了的话，也需要了解一些数论知识。
首先需要暴力质因数破解 p 和 q（枚举奇数到 n ），n 是 19 位，所以 p 不会超过 9 位，即使枚举也是可以接受的。可以得到 p=891234941 q=1123984201。
现在已知 d，还要求 e，考虑到 d 和 m=(p-1)(q-1) 互质，所以 d×e≡1(modm) 。那么很自然而然的想出求出 d 关于 m 的逆元（【模板】乘法逆元 - 洛谷题库 >>）。至于不会逆元？也可以尝试直接进行枚举 e，但怕是考试结束都枚举不完。
经提示，问题也等价于 d×e=k×m+1 找到一个 k（从 1 枚举），使得 k×m≡d−1(modd) ，实际上 k 只需要枚举到 d-1，考虑到 d 大约为 2e5，复杂度可以接受。
获得 e 之后，就直接按照公式求乘积，这里得使用快速幂加速。由于一般的快速幂可能爆 long long，需要加个快速乘规避（龟速乘也可以就是有点慢）。
本题思路很显然，几乎没什么思维难度（前提是会使用一些数学工具）。不过写的时候可能会掉进溢出的坑（我对着一个负数看了很久）。对于ACM区域赛/OI省选级别竞赛选手来说这个算基本功，但是如果没有专业训练的同学，还是考虑放弃。
如果是可以用 Python 或者 Java，那么大概就没那么多溢出的屁事了。
代码：
#include
using namespace std;
typedef long long ll; // 懒得写那么多 long long
void Exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) { // 扩展欧几里得求逆元
if(!b) x = 1, y = 0;
else Exgcd(b, a % b, y, x), y -= a / b * x;
}
inline ll mul(ll x, ll y, ll p) { // 快速乘，防止爆 long long
ll z = (long double)x / p * y;
ll res = (unsigned long long)x * y - (unsigned long long)z * p;
return (res + p) % p;
}
ll fpm(ll x, ll power, ll p) { // 快速幂
x %= p;
ll ans = 1;
for(; power; power >>= 1, x = mul(x, x, p))
if(power & 1)(ans = mul(ans, x, p)) %= p;
return ans;
}
int main() {
ll n = 1001733993063167141, d = 212353, p, q;
for(ll i = 3; i * i < n; i += 2) {
/*
if(i % 1000000000 == 1) // 进度条，要不然不知道程序有没有再跑
cout << i << endl;
*/
if(n % i == 0) { //n % i== 0
p = i;
q = n / i;
break;
}
}
cout << "p = " << p << endl;
cout << "q = " << q << endl;
/*
p = 891234941;
q = 1123984201;
*/
ll e, m = (p - 1) * (q - 1), x, y;
Exgcd(d, m, x, y);
e = (x % m + m) % m;
ll C = 20190324;
// cout << mul(d, e, m); 验证 d*e mod m = 1
cout << fpm(C, e, n) << endl;
return 0;
}
解析：
首先需要了解什么是完全二叉树。
二叉树定义，节选自《深基》
因此，存储一个完全二叉树，可以使用一维数组存下所有结点。从上到下，从左到右，编号依次增加。可以发现，第一层有 1 个结点，第二层有 2 个，第三层有 4 个，第四层有 8 个……第 i 层有 2i−1 个结点。还可以发现，结点编号为 i 的话，它的左右子节点的编号分别是 2×i 和 2×i+1，不过这个和本题无关。
由于我们知道每一层的节点个数，可以直接输入数据后按层统计，甚至都可以不用数组把这些数字存下来。只要记录好读入的数字个数，在合适的时间退出循环就行。注意 << 符号是左移，1<
本题有两个需要注意的地方
- 数据可能有小于 0 的，导致每层总和可能小于 0。
- 最多的一层可能有 100000-2^16 大约是 35000 个结点，所以要用 long long 防止总合爆 int。
代码：
#include
#include
using namespace std;
int main() {
long long n, maxnum = -3500000000ll, maxlayer, cnt = 0, flag = 0;
cin >> n;
for(int layer = 0; ; layer++) { // 枚举每一层，习惯上从 0 开始
long long sum = 0, a;
//cout << "<<" << (1 << layer) << endl;
for(int i = 0; i < (1 << layer); i++) { // 每一层的结点个数
cin >> a;
sum += a;
if(++cnt >= n) {
flag = 1;
break;
}
}
//cout << sum << endl;
if(sum > maxnum)
maxnum = sum, maxlayer = layer + 1;
if(flag) break;
}
cout << maxlayer;
return 0;
}
解析：
最朴素的方法是枚举每一秒，然后枚举每个店铺是否有新的订单，然后进行增减操作，不过这个算法复杂度显然不行。
考虑到每一个店铺之间互相独立，所以可以依次判断每个店铺最后是否在优先缓存中。因此，只需要建立 N 个 vector，每个 vector 都可以存储这家店铺的订单时间。
然后从最开始的订单进行处理，判断上一个订单到现在过去了多久（要记录上一个订单的时间，和上一个订单处理后的优先级，初始值都是 0）。如果上一个订单处理的优先级减去经过的时间（注意要减一，因为这个时候有新订单，不用再减了），如果小于 0 则变为 0，然后加上 2。注意同一时间有多个订单的情况。
最后我们就可以计算得到这个店铺时刻 T 的优先值，也要根据最后一个订单的经过时间来计算。
如果优先值大于 5 那显然在缓存中。如果优先值小于等于 3 则显然不在缓存中。那 4 和 5 呢？如果是 6 降到 4/5 那么可以算，否则不算（注意优先值不可能连续保持不变）。所以可以进行以下讨论：
秒 1 2 3 4 5
值 3 5 （不符合情况）
值 6 5 （符合情况）
值 6 5 4 （符合情况）
值 3 5 4 （不符合情况）
值 2 4 （不符合情况）可以发现，当最后优先级为 5 的时候，最后一秒不能有订单；优先级为 4 的时候，最后一秒和倒数第二秒都不能有订单。所以在最后判断一下是否出现这种情况就可以了。排序复杂度O(MlogM) ，处理订单复杂度 O(M+N)。
代码：
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
vector q[100005];
int N, M, T, ans = 0;
int main() {
cin >> N >> M >> T;
while(M--) {
int ts, id;
cin >> ts >> id;
q[id].push_back(ts);
}
for(int i = 1; i <= N; i++) {
sort(q[i].begin(), q[i].end());
int last_time = 0, priority = 0, ts;
for(int order = 0; order < q[i].size(); order++) {
ts = q[i][order];
if(ts - last_time >= 1)
priority -= (ts - last_time - 1);
priority = max(0, priority);
priority += 2;
last_time = ts;
}
priority -= (T - last_time);
if(priority > 3
&& (priority > 5
|| priority == 5 && ts != T
|| priority == 4 && ts < T - 1
)
) ans++;
}
cout << ans;
return 0;
}
解析：
将一系列连续的数字作为一个集合。虽然可以平衡树或者set求得集合最大值，但是显然还是并查集（【模板】并查集 >>）用起来快。
首先进行并查集初始化。然后依次读入数字。
- 如果这个没有被占用，那么这个就是答案，可以直接插入。
- 如果被占用了，则使用并查集找到这个集合，找到祖先。其下一个就是可以插入的空。考虑到并查集是单向从小指向大的，所以祖先一定是最大的。注意要使用上路径压缩
注意使用 vis 数组占用掉。然后需要依次判断这个占坑后，是否和前面一段集合和后面一个集合连在一起，如果是的话就将前面一个的祖先改掉。当然，数字 1 没有前一个。
有一个问题需要明确，如果一直插入 1000000，那么到最后的数字会超出 1000000，因此并查集的值域需要开到 max(A_i)+N。
代码：
#include
#include
using namespace std;
#define MAXN 100005
#define MAXA 1100005
int a, N, fa[MAXA], vis[MAXA];
int get_father(int x) { // 查找祖宗
if (x == fa[x]) return x;
return fa[x] = get_father(fa[x]);
}
int main() {
cin >> N;
for (int i = 1; i < MAXA; i++)
fa[i] = i; // 并查集初始化
for (int i = 0; i < N; i++) {
cin >> a;
int ans = vis[a] ? get_father(a) + 1 : a;
cout << ans << ' ';
vis[ans] = 1;
if (ans != 1 && vis[ans - 1])
fa[ans - 1] = ans;
if (vis[ans + 1])
fa[ans] = ans + 1;
}
return 0;
}
解析：
非常基础的状态压缩动态规划，因为数据范围非常小。可以使用二进制中的每一位表示某袋中是否有这某种糖果。例如一共有 5 种糖果，其中一袋是 [1,2,3]，那么对应的二进制是 [00111]=7（注意二进制是右边是低位，左边是高位）；如果是 [1,1,3]那么对应二进制是 [00101]=5。可以使用或运算符号来表示糖果的集合合并，用做左移符号（<<）来移动每一位。
接下来，设 f[S] 为达成 S 集合需要的最少糖果袋数，初始值都设为正无限，f[0]=0。
开始处理每一袋糖果，然后枚举每一种糖果集合的状态，如果f[S]是正无限，说明这种状态暂时不可达，暂时跳过。对于可行的状态，尝试把这一袋糖果加入到集合中，对，还是使用或运算。例如原来的集合是 [10101]=21，要加上状态为 [01110]=14 的糖果，其结果就是 [10101]∪[01110]=21|14=31。注意要在原基础上增加 1（因为新买了一包）。注意别覆盖之前出来的更好的结果，所以要取最小值。
最后输出全1的集合对应的数量，注意特别判断无解的状态。
代码：
#include
#include
using namespace std;
#define MAXN 105
int N, M, K, tmp;
int f[1 << 20], a[MAXN];
int main() {
cin >> N >> M >> K;
for (int i = 0; i < N; i++)
for (int j = 0; j < K; j++) {
cin >> tmp;
a[i] |= 1 << tmp - 1; // 加入糖果构造集合
}
memset(f, 127, sizeof(f));
f[0] = 0;
for (int i = 0; i < N; i++)
for (int S = 0; S < 1 << M; S++) { // 枚举所有状态
if (f[S] > MAXN)continue;
f[S | a[i]] = min(f[S | a[i]], f[S] + 1);
}
cout << (f[(1 << M) - 1] < MAXN ? f[(1 << M) - 1] : -1) << endl;
return 0;
}