数字图像处理【4】图像空间滤波-锐化

图像的高频与低频

对于初学者来说,可能没能搞清楚哪些是图像的高频信息,低频信息指代的是什么。

  • 低频指的就是灰度变化比较小的像素区域

  • 高频指的就是灰度变化比较大的像素区域

所谓灰度变化比较小的图像就是,内容;所谓灰度变化比较大的图像就是,边缘和纹理;

边缘:灰度变化较大,比如我穿了一件红色的衣服,北京是白色的,那么,红色衣服与白色背景的边缘是高频的,因为他们的图像变化剧烈,而红色衣服内容他们的变化是低频的,白色背景内容也是低频的,高频,就是变化频率高,变化频率快。

纹理:内部纹理,比如脸上有没有褶子,还有脸上有没有什么斑点,这个都是高频,因为相对于一张平坦无比的大饼脸,一个褶子确实变化很大,所以,这是高频信息。

图像锐化

前篇文章主要介绍的是平滑滤波器,主要作用是削弱图像中的高频分量,使得图像更加平滑。接下来介绍锐化滤波器,其主要用途有以下几点:

  • 突出图像中的细节,增强被模糊了的细节

  • 印刷中的细微层次强调,弥补扫描对图像的钝化

  • 超声探测成像,分辨率低,边缘模糊,都可以通过锐化来改善

  • 图像识别中,分割前的边缘提取

  • 锐化处理 恢复过度钝化,曝光不足的图像

  • 武器中的目标识别、定位

均值滤波、高斯滤波的原理与像素邻域间积分相似,由此联想到,微分 能不能产生相反的效果。接下来我们将用数字微分来定义和实现 锐化算子的各种方法。

数字图像处理【4】图像空间滤波-锐化_第1张图片

首先我们来看数字图像边缘的数学示意图,一般情况下图像经过光学成像设备以后,阶跃性的边缘会变得光滑,那么对这个光滑的阶跃性边缘进行一阶微分。

从一阶微分的曲线可以看到,数字图像阶跃性边缘点,在一阶微分曲线上是一个极值点。那么我们在一阶微分的曲线再进一次微分,得到二阶微分曲线。边缘点在二阶微分的曲线上是 零交叉点。

以上就是数字图像阶跃性边缘的一个特性,但在数学关系上需要保证以下几个特点:

  • 对于一阶微分定义必须保证:

  1. 在恒定灰度区域的微分值为零。也就说在灰度恒定的区域是没有边缘的,那它的响应要为0

  1. 在灰度的阶跃处或斜坡处的微分值是非零。

  • 对于二阶微分定义必须保证:

  1. 在恒定灰度区域的微分值为零。和一阶一样

  1. 在灰度的阶跃处或起点结尾处的微分值是非零。(注意这里是起点处)

  1. 沿着斜坡的微分值 为零。

数字图像处理【4】图像空间滤波-锐化_第2张图片

这里结合一个例子展开说说,右上是数字图像一维排列的折线图,观察图像折线图分成5个段,首先是一段平坦的灰度,然后是一段下坡,之后又是一段平坦的灰度,之后有一个阶跃式上升, 最后是一段平坦灰度。Scan line模拟着对应着的灰度值。

然后观察1st derivative一阶微分值,发现灰度值平坦处对应着一阶微分是0,在上坡和下坡台阶处为非0,符合之前说的特点。

再观察2nd derivative二阶微分的情况,发现灰度值平坦处对应二阶微分也是0,然后斜坡起点\结尾处处为非0。如何理解?一阶微分可以认为是函数的斜率,而二阶微分是曲率也就是斜率的变化量;在灰度阶跃性变化处,有一个零交叉点(5、-5之间有个0点)

经过以上数学定义,接下来可以介绍对应的锐化滤波器。

一阶微分滤波器 索贝尔Sobel算子(也叫梯度算子)

数字图像处理【4】图像空间滤波-锐化_第3张图片

首先我们来定义一阶微分算子在二维图像的数学定义,上面的介绍我们可以知道一阶微分是基于梯度变换的,它是有区分方向的是一个向量,它表示图像灰度变化最快的方向。上图展现了三个不同方向的梯度。

由此给出梯度的一个数学定义:图像x方向的微分和y方向上的微分组成的一个向量。向量有幅值和方向,其定义如上。

数字图像处理【4】图像空间滤波-锐化_第4张图片

有了梯度的定义,计算梯度的时候通常使用(幅值)掩模版的卷积核。常用的一阶微分滤波就是索贝尔算子。它区分x方向和y方向,我们可以看到它区分了中心权重为2和-2,两边的是1和-1,中心之所以使用权重为2是因为通过突出中心点的作用,而达到一个平滑的目的。

注意所有的计算模板中的系数总和为0,保证在恒定灰度的区域的微分值为零。

数字图像处理【4】图像空间滤波-锐化_第5张图片

这里给出了一个例子,左边输出的一幅隐形眼镜的光学图像,圆形的眼镜会有一些缺陷。运用Sobel去计算它的一幅梯度图像,从图像可以清晰的看到缺陷的位置,并且过滤了灰度不变或者变化缓慢的地方(原图的四个角落阴影)

二阶微分滤波器 拉普拉斯Laplace算子

数字图像处理【4】图像空间滤波-锐化_第6张图片

二阶微分滤波器,拉普拉斯算子的数学公式是红色区域,表示在x方向的二阶偏导 加 y方向的二阶偏导,x方向展开其实是 [ f(x+1, y) - f(x, y) ] - [ f(x, y) - f(x-1, y) ],y方向同理。最终两者加起来

数字图像处理【4】图像空间滤波-锐化_第7张图片

有了数学展开的公式,就很容易的推算出卷积核;考虑到卷积核的对角线方向,中心像素点位置的权重-4可以直接变成原来的2倍。

数字图像处理【4】图像空间滤波-锐化_第8张图片

有了拉普拉斯算子的卷积核定义,我们可以从灰度图像中提取细节,有了这个细节以后,我们可以把细节叠加到原图上,这样就可以得到一个边缘增强的图像。

数字图像处理【4】图像空间滤波-锐化_第9张图片

上面是拉普拉斯算子应用的例子。原图输入经过光学设备成像后,整体是平滑的但缺失了细节,然后利用拉普拉斯算子提取图像细节出来,对于拉普拉斯的响应是有正有负的,这个需要按需选择。我们可以把细节图像做一个灰度平移,就是把细节图像整体的加128,原来灰度为0的细节就变成128,这样细节就更为明显的展现出来。最后把拉普拉斯细节图像叠加到原图上,得到右下的图像,显然最终的输出细节得到了增强。

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