数字图像处理【4】图像空间滤波-锐化

图像的高频与低频

对于初学者来说，可能没能搞清楚哪些是图像的高频信息，低频信息指代的是什么。

• 低频指的就是灰度变化比较小的像素区域

• 高频指的就是灰度变化比较大的像素区域

所谓灰度变化比较小的图像就是，内容；所谓灰度变化比较大的图像就是，边缘和纹理；

边缘：灰度变化较大，比如我穿了一件红色的衣服，北京是白色的，那么，红色衣服与白色背景的边缘是高频的，因为他们的图像变化剧烈，而红色衣服内容他们的变化是低频的，白色背景内容也是低频的，高频，就是变化频率高，变化频率快。

纹理：内部纹理，比如脸上有没有褶子，还有脸上有没有什么斑点，这个都是高频，因为相对于一张平坦无比的大饼脸，一个褶子确实变化很大，所以，这是高频信息。

图像锐化

前篇文章主要介绍的是平滑滤波器，主要作用是削弱图像中的高频分量，使得图像更加平滑。接下来介绍锐化滤波器，其主要用途有以下几点：

• 突出图像中的细节，增强被模糊了的细节

• 印刷中的细微层次强调，弥补扫描对图像的钝化

• 超声探测成像，分辨率低，边缘模糊，都可以通过锐化来改善

• 图像识别中，分割前的边缘提取

• 锐化处理 恢复过度钝化，曝光不足的图像

• 武器中的目标识别、定位

均值滤波、高斯滤波的原理与像素邻域间积分相似，由此联想到，微分 能不能产生相反的效果。接下来我们将用数字微分来定义和实现 锐化算子的各种方法。

首先我们来看数字图像边缘的数学示意图，一般情况下图像经过光学成像设备以后，阶跃性的边缘会变得光滑，那么对这个光滑的阶跃性边缘进行一阶微分。

从一阶微分的曲线可以看到，数字图像阶跃性边缘点，在一阶微分曲线上是一个极值点。那么我们在一阶微分的曲线再进一次微分，得到二阶微分曲线。边缘点在二阶微分的曲线上是 零交叉点。

以上就是数字图像阶跃性边缘的一个特性，但在数学关系上需要保证以下几个特点：

• 对于一阶微分定义必须保证：

1. 在恒定灰度区域的微分值为零。也就说在灰度恒定的区域是没有边缘的，那它的响应要为0

2. 在灰度的阶跃处或斜坡处的微分值是非零。

• 对于二阶微分定义必须保证：

1. 在恒定灰度区域的微分值为零。和一阶一样

2. 在灰度的阶跃处或起点结尾处的微分值是非零。（注意这里是起点处）

3. 沿着斜坡的微分值 为零。

这里结合一个例子展开说说，右上是数字图像一维排列的折线图，观察图像折线图分成5个段，首先是一段平坦的灰度，然后是一段下坡，之后又是一段平坦的灰度，之后有一个阶跃式上升， 最后是一段平坦灰度。Scan line模拟着对应着的灰度值。

然后观察1st derivative一阶微分值，发现灰度值平坦处对应着一阶微分是0，在上坡和下坡台阶处为非0，符合之前说的特点。

再观察2nd derivative二阶微分的情况，发现灰度值平坦处对应二阶微分也是0，然后斜坡起点\结尾处处为非0。如何理解？一阶微分可以认为是函数的斜率，而二阶微分是曲率也就是斜率的变化量；在灰度阶跃性变化处，有一个零交叉点（5、-5之间有个0点）

经过以上数学定义，接下来可以介绍对应的锐化滤波器。

一阶微分滤波器 索贝尔Sobel算子（也叫梯度算子）

首先我们来定义一阶微分算子在二维图像的数学定义，上面的介绍我们可以知道一阶微分是基于梯度变换的，它是有区分方向的是一个向量，它表示图像灰度变化最快的方向。上图展现了三个不同方向的梯度。

由此给出梯度的一个数学定义：图像x方向的微分和y方向上的微分组成的一个向量。向量有幅值和方向，其定义如上。

有了梯度的定义，计算梯度的时候通常使用（幅值）掩模版的卷积核。常用的一阶微分滤波就是索贝尔算子。它区分x方向和y方向，我们可以看到它区分了中心权重为2和-2，两边的是1和-1，中心之所以使用权重为2是因为通过突出中心点的作用，而达到一个平滑的目的。

注意所有的计算模板中的系数总和为0，保证在恒定灰度的区域的微分值为零。

这里给出了一个例子，左边输出的一幅隐形眼镜的光学图像，圆形的眼镜会有一些缺陷。运用Sobel去计算它的一幅梯度图像，从图像可以清晰的看到缺陷的位置，并且过滤了灰度不变或者变化缓慢的地方（原图的四个角落阴影）

二阶微分滤波器 拉普拉斯Laplace算子

二阶微分滤波器，拉普拉斯算子的数学公式是红色区域，表示在x方向的二阶偏导 加 y方向的二阶偏导，x方向展开其实是 [ f(x+1, y) - f(x, y) ] - [ f(x, y) - f(x-1, y) ]，y方向同理。最终两者加起来

有了数学展开的公式，就很容易的推算出卷积核；考虑到卷积核的对角线方向，中心像素点位置的权重-4可以直接变成原来的2倍。

有了拉普拉斯算子的卷积核定义，我们可以从灰度图像中提取细节，有了这个细节以后，我们可以把细节叠加到原图上，这样就可以得到一个边缘增强的图像。

上面是拉普拉斯算子应用的例子。原图输入经过光学设备成像后，整体是平滑的但缺失了细节，然后利用拉普拉斯算子提取图像细节出来，对于拉普拉斯的响应是有正有负的，这个需要按需选择。我们可以把细节图像做一个灰度平移，就是把细节图像整体的加128，原来灰度为0的细节就变成128，这样细节就更为明显的展现出来。最后把拉普拉斯细节图像叠加到原图上，得到右下的图像，显然最终的输出细节得到了增强。