代码随想录算法训练营第四十五天|70. 爬楼梯（进阶版）、322. 零钱兑换、279.完全平方数

70. 爬楼梯（进阶版）

此题一开始学习动态规划的时候就做过，用的类斐波那契的递推公式，本题如果升级难度，将一次只能跨一步或者两步台阶，扩展到一次可以一步、两步、三步……m步，就不能那样做了，可以转化为完全背包的问题。【1-m】是物品的重量和价值，跨到多少节是背包

1. dp数组及下标含义
   dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法

2. 递推公式
   dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]

   那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]

3. 初始化
   既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果 dp[0]是0的话，其他数值都是0了。

   下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果

4. 确定遍历顺序
   这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！

   所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。

   每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品, m换成2就是前面的基础问题
                if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

322. 零钱兑换

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]

2. 确定递推公式
   凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）

   所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。

   递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

3. dp数组初始化
   首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;

   考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。

   所以下标非0的元素都是应该是最大值。

4. 确定遍历顺序
   本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。

   那么采用coins放在外循环，target在内循环的方式。

   本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序

   综上所述，遍历顺序为：coins（物品）放在外循环，target（背包）在内循环。且内循环正序。

5. 举例
   以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例
   

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
                    dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
                }
            }
        }
        return dp[amount] == INT_MAX ? -1 : dp[amount];
    }
};

279.完全平方数

此题和上题类似

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
            for (int j = i * i; j <= n; j++) {
                dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};