【蓝桥杯】杨辉三角形【第十二届】【省赛】

性质

规定1≤j≤i

• 第i行共i个数；
• 第i行j列的值为C(i-1,j-1)；
• 第i行的最大值是C(i-1,(i-1)/2)
• 第二列是一个d=1的等差数列，所以一定存在N，且一定是最后出现的N。

题解1：DP

分析

  用dp做不需要C(n,m)的计算，但需要一个数组保存数据，经过优化后可以是一个一维数组。
  考虑到：第三列也很容易得到递推公式，第i行第三列的值为ai3 =(i-2)(i-1)/2 ,i≥2 。
  我们可以计算出ai3第一次大于10亿的i=44723 。

for(long i =3L;;++i){
	if((i-1)*(i-2)>2000000000L) {
    	System.out.println(i);
        break;
    }
}

  此时，我们只需要对前44722行进行dp计算，即可找到N。考虑到杨辉三角的递增性质，如果找不到，N一定N+1行的第二个数。
  dp优化后，我们只需要一个大小至少为44723的一维long数组。

代码实现

import java.util.Scanner;

public class Main {
    static long[] num = new long[44723];
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        long N = scan.nextLong();
        if(N == 1) {
            System.out.println(1);
            return;
        }
        num[1] = 1L;
        //dp计算
        for(int i =2;i<=44722;++i){
            for(int j =i;j>=1;--j){
                num[j] += num[j-1];
                if(num[j] == N){
                    /*这里容易出错!
                    * 因为是下标从大到小的dp,杨辉三角是对称的，先满足的是对称轴右边的数
                    * 这里结果res的计算需要做一下对称处理，不是i*(i-1)/2 +j
                    * 实际上是第i行的第i-j+1个数首先满足相等条件*/
                    long res = (((long) i *((long) i -1))>>1)+i-j+1;
                    System.out.println(res);
                    return;
                }
            }
        }
        //此时，N一定是 第N+1行的第二个数
        long res = ((N*(N+1))>>1)+2;
        System.out.println(res);
    }
}

提交结果

参考链接

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题解2

分析

  如图，剔除1后，取奇数行的最大值作为每一“列”的首元素。
结合杨辉三角的性质，数N如果出现在多“列”中，在较大“列”中N在杨辉三角中的位置靠前。所以我们要从大到小遍历“列”。

    static long N;
    static long C(long n,long m){
        long res = 1L;
        m = Math.min(m,n-m);//C(n,m)= C(n,n-m)
        for(int i=0;i<m;++i){
            //初等数论：任意n个连续整数之积一定是n的倍数
            res *= n-i;
            res /= i+1;
            /*在大组合数的计算中，一定会溢出爆long
             * 在本题中，我们要找等于N的数，所以一旦res超过N，再继续计算已经没用意义
             * 此时，返回任意大于N的数即可*/
            if(res>N)return res;
        }
        return res;
    }

计算组合数函数

N = 1000000000L;//给一个较大值或者注释if(res>N)return res;语句，否则下面的计算组合数将会出错
for(int i =1;;++i){
    //第i行的最大值是C(i-1,(i-1)/2)
    if(C(i-1,(i-1)>>1) > 1000000000) {
        System.out.println(i);
        break;
    }
}

计算最大列   计算结果是34，在剔除1后，还剩16"列"，其中第16"列"只存在一个合法元素,即杨辉三角中第33行的最大值C(32,16)= 601080390L。一开始做if判断即可不遍历第16"列"，从第15"列"开始，嫌麻烦也可以直接从第16"列"开始遍历。

代码实现

import java.util.Scanner;

public class Main {
    /**
     * 初等数论：任意n个连续整数之积一定是n的倍数
     */
    static long N;
    static long C(long n,long m){
        long res = 1L;
        m = Math.min(m,n-m);//C(n,m)= C(n,n-m)
        for(int i=0;i<m;++i){
            res *= n-i;
            res /= i+1;
            /*在大组合数的计算中，一定会溢出爆long
             * 在本题中，我们要找等于N的数，所以一旦res超过N，再继续计算已经没用意义
             * 此时，返回任意大于N的数即可*/
            if(res>N)return res;
        }
        return res;
    }
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        N = scan.nextLong();
        if(N == 1) {
            System.out.println(1);
            return;
        }
        if(N == 601080390L) {//第16"列"只有一个元素
            System.out.println(32*33/2 +17);
            return;
        }
        //对剩下的15"列"进行二分查找
        //第i"列"的所有数是杨辉三角中每一行n的第i+1个数，其值为C(n+1,i);
        for(int i =15;i>=1;--i){
            //第i"列"的起点位于杨辉三角的第2i+1行，因次左边界l取2i
            //第一列的值是d=1的等差数列，至少在r=N处，会满足等于N的条件，所以右边界取N
            long l = i<<1,r=N;
            while(l<r){
                long mid = (l+r)>>1;
                //找最先出现的
                if(C(mid,i)>=N)r = mid;
                else l = mid+1;
            }
            if(C(l,i)==N){
                //该点是杨辉三角中第l+1行的 第i+1个数
                long res = ((l*(l+1))>>1)+i+1;
                System.out.println(res);
                return;
            }
        }
    }
}

提交结果

参考链接

蓝桥杯2021年第十二届真题第一场-杨辉三角形

补充

在竞赛过程中一般不会去进行额外计算，所以另一种思路是从小"列"到大“列”扫描，大“列”的上确界给一个较大值（本题中大于等于16即可），然后取这些“列”中N位置的最小值，即为所求。
参考：第十二届蓝桥杯B组省赛杨辉三角形题解

备注

  本文整理的思路都是答题过程中可以想到的，肯定存在更优的解决思路，但不做讨论。