【数学】02：欧拉函数

欧拉函数

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一、欧拉函数

1.定义欧拉函数

• 欧拉函数定义：1~n中与n互质的数的个数，例$\phi (6)=2$
• 如果 $N=p{1}^{\alpha 1}\ast p{2}^{\alpha 2}\ast ....\ast p{n}^{\alpha n}$
• 则有公式：$\phi (N)=N\ast (1-\frac{1}{p1})(1-\frac{1}{p2})...(1-\frac{1}{pn})$；
• 时间复杂度：$O(n)=\sqrt{n}$

2.欧拉函数练习

（1）AcWing873.欧拉函数

对于每一个数字，分别从定义出发求其欧拉函数：

#include
using namespace std;

int main() {
    int m; cin >> m;
    while (m--) {
        int num; cin >> num;
        int res = num;//最后结果
        //1.分解质因数
        for (int i = 2; i <= num / i; ++i) {
            if (num % i == 0) {
                /* i为num的一个因子 */    
                res = res / i * (i - 1);//res = res * (1 - 1/i);公式内容
                while (num % i == 0) num /= i;
            }
        }
        //2.说明num有一个大于1的质因数
        if (num > 1) res = res / num * (num - 1);
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}

• 注意：在 res = res / num * (num - 1)中, 不能写成 res = res * (num - 1) / num;顺序不可颠倒

（2）AcWing874.筛法求欧拉函数

如果需要求出1~N中，每一个数字的欧拉函数，这时再使用公式法（将每个数都分解质因数）将导致时间复杂度为$O(n)=n\sqrt{n}$

在筛法求素数的过程中，计算出每一个数的欧拉函数：

#include
#include
using namespace std;

const int MAX = 1000010;

int primes[MAX], cnt;//质数数组、质数下标
bool st[MAX];//每个数字是否已经被筛选掉

int phi[MAX];

long long get_eulers(int n) {
    /* 线性筛法过程中 顺便将欧拉函数求一遍 */
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (!st[i]) {
            primes[cnt++] = i;//质数添加
            phi[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; ++j) {
            st[primes[j] * i] = true;//进行筛选
            if (i % primes[j] == 0) {//优化为线性的
                phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j];//数学推导
                break;
            }
            phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);//数学推导
        }
    }
    //计算总和
    long long res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) res += phi[i];
    return res;
}

int main() {
    int n; cin >> n;
    cout << get_eulers(n) << endl;
    return 0;
}

• 欧拉定理：若a与n互质，则有 $a^{\phi (n)}\equiv 1(modn)$
• 费马定理：当n为质数时，则有 $a^{p-1}\equiv 1(modp)$

二、快速幂

1.快速幂

快速幂的核心：反复平方法

快速幂即快速的求出 $a^{k}modp$ 的结果，可以在 $O(logk)$ 的时间复杂度内求出结果，其中满足 $1\le a,p,k\le 10^9$，

//暴力法O(k)
res = 1;
for (int i = 1; i <= k; ++i) {
    res = res * a % p;
}

//快速幂O(logk)
int res = 1;
while (k) {
    if (k & 1) res = (long long)res * a % p;
    k >>= 1;//最后一位抹去
    a = (long long)a * a % p;
}
return res;

2.快速幂练习

（1）AcWing875.快速幂

#include
using namespace std;

//a^k % p
int qmi(int a, int k, int p) {
    int res = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) res = (long long)res * a % p;
        k >>= 1;//最后一位抹去
        a = (long long)a * a % p;
    }
    return res;
}

int main() {
    int m;
    scanf("%d", &m);
    while (m--) {
        int a, k, p;
        scanf("%d%d%d", &a, &k, &p);
        printf("%d\n", qmi(a, k, p));
    }
    return 0;
}

（2）AcWing876.快速幂求逆元

• 考察：费马定理与快速幂

#include
using namespace std;

//a^k % p
int qmi(int a, int k, int p) {
    int res = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) res = (long long)res * a % p;
        k >>= 1;//最后一位抹去
        a = (long long)a * a % p;
    }
    return res;
}

int main() {
    int m;
    scanf("%d", &m);
    while (m--) {
        int a, p;
        scanf("%d%d", &a, &p);
        int res = qmi(a, p - 2, p);
        if (a % p) printf("%d\n", res);//res != 0 表示a不是p的倍数
        else puts("impossible");//a是p的倍数
    }
    return 0;
}

三、扩展欧几里得算法

• 裴蜀定理：对于任意正整数 $a、b$ ，一定存在非零整数 $x、y$ ，使得 $ax+by=(a,b)$ （最大公约数）

1.扩展欧几里得算法练习

（1）AcWing877.扩展欧几里得算法

#include
using namespace std;

// (a, b) = (b, a mod b)
// return b ? gcd(b, a % b) : a;
int gcd(int a, int b) {
    if (!b) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

// ax + by = (a, b)
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);//递归求
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main() {
    int m;
    scanf("%d", &m);
    while (m--) {
        int a, b, x, y;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        exgcd(a, b, x, y);
        printf("%d %d\n", x, y);
    }
    return 0;
}

（2）AcWing878.线性同余方程

• 给定$a、m、b$，求一个整数 $x$ 使得 $ax\equiv b(modm)$

#include
using namespace std;

// (a, b) = (b, a mod b)
// return b ? gcd(b, a % b) : a;
int gcd(int a, int b) {
    if (!b) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

// ax + by = (a, b)
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);//递归求
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main() {
    int m;
    scanf("%d", &m);
    while (m--) {
        int a, b, m;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &m);
        int x, y;
        int d = exgcd(a, m, x, y);
        if (b % d) puts("impossible");
        else printf("%d\n", (long long)x * (b / d) % m);
    }
    return 0;
}

四、中国剩余定理

1.中国剩余定理练习

（1）AcWing204.表达整数的奇怪方式