考研高数之无穷级数题型三：将函数展开成幂级数和傅里叶级数（题目讲解）

在无穷级数这一章中，值得注意的有幂级数和傅里叶级数两种，使用它们的目的分别是将分数展开成幂级数和三角函数

在写题之前我们最好先明确一下为什么要进行展开，这样有助于理解

进行展开是为了去除信息冗余，完成特征提取

当连续的函数被幂级数展开式所表示

不同的函数之间的区别就仅存在于展开式中每一项的系数

于是一个连续函数的性质就完全由一串离散的可列数字所决定

也就是说，展开系数包含了该函数的所有信息，其余的东西都是冗余

这个过程实质上是对该函数的采样

而且是无失真采样，包含了原函数更本质的特征。

这就好比在线性代数中，我们可以把任何一个向量，分解为基向量的加权求和

而这个分解的过程实质上也是采样，完成对向量的特征提取

一、展开成幂级数

题目如下

注意思路是往已知的公式上面转化 

二、展开成傅里叶级数

任何周期函数，只要满足迪利克雷收敛条件，都可以用傅里叶级数展开，所谓傅里叶级数展开形式，就其实就是用一堆周期成倍数关系的三角函数去近似逼近原函数

继续回顾一下书本知识，设f(t)是在[-l, l]上周期为2l的周期函数，满足迪利克雷收敛条件，展开成傅里叶级数

下面用题目进行讲解

值得注意的是我们最好先判断函数的奇偶性，这样有助于简化计算，其次计算时要仔细 

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