代码随想录day45 动态规划 背包问题

代码随想录day45 动态规划 背包问题

题70 爬楼梯

1，用常规的动态规划-斐波那契数列写过此题。
2，换一种思路，用完全背包的思路来解，相当于从[1,2]中求排列的情况相加为n（台阶总数），于377题几乎一样。
3，动规五部曲分析如下：
（1）确定dp数组以及下标的含义
dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。
（2）确定递推公式
本题呢，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]
那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]
（3）dp数组如何初始化
既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。
下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果
（4）确定遍历顺序
这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！
所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。
每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。
4，本题可以扩展为每次走1，2，3，…m个台阶有几种方法，相当于物品扩充为[1,2,3,4,…m]。

class Solution {
    //动规的斐波那契方法
    // public int climbStairs(int n) {
    //    if(n <= 2) return n;
    //    int a = 1, b = 2, c = 0;
    //    for(int i = 3; i <= n; i++) {
    //        c = a + b;
    //        a = b;
    //        b = c;
    //    }
    //    return c;
    // }

    //dp完全背包的解法，可以引申出一步1.2.3.。。。n个台阶。
    public int climbStairs(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        for(int j = 1; j <= n; j++) {
            for(int i = 1; i <= 2; i++){
                if(j >= i){
                    dp[j] += dp[j - i];
                }   
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

题322 零钱兑换

1，该题求各个合法的组合（排列）的元素个数最小值。每个硬币的数量是无限的，因此是完全背包问题。
2，动规五部曲分析如下：

• 确定dp数组以及下标的含义
  dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]
• 确定递推公式
  凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）
  所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
  递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
• dp数组如何初始化
  首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;
  其他下标对应的数值呢？
  考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
  所以下标非0的元素都是应该是最大值。

3，两层循环顺序可以颠倒，因为无论是组合还是排列，其中最小元素的个数是相同的。

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int min = Integer.MAX_VALUE;
        for(int coin : coins) {
            min = Math.min(coin,min);
        }
        if(amount < min && amount > 0) {
            return -1;
        }
        int[] dp = new int[amount + 1];
        dp[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= amount; i++){
            dp[i] = Integer.MAX_VALUE;
        }
        for(int i = 0; i < coins.length; i++) {
             for(int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                 //这里判断一下，只有不为初始值最大值才有取用的意义，否则意味着目前没有钱币能够凑出j - coins[i] 的面额。
                 if(dp[j - coins[i]] != Integer.MAX_VALUE){
                     dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
                 }
             }
        }
        return dp[amount] == Integer.MAX_VALUE ? -1 : dp[amount];
    }
}

题279 完全平方数

1，此题和上一题零钱兑换是一样的，都是求组合/排列中的最小元素个数，只是物品可选的集合不同，此题为i* i（i* i

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 0;
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            dp[i] = max;
        }

        for(int i = 0; i * i <= n; i++){
            for(int j = i * i; j <= n ; j++){
                if(dp[j - i * i] != max){
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }
}