线性代数-【2-（3-4）】矩阵及其运算

逆矩阵

由于单位矩阵乘以任何矩阵均为原矩阵，且矩阵并没有除法的概念，而对于自然数数的除法可以通过倒数的形式转化为乘积的 形式，因此我们引入逆矩阵。

定义7

对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B使得：

AB=BA=E

则说A是可逆的，并且B称为A的逆矩阵。

注：逆矩阵唯一

定理1

若矩阵A可逆，则A的行列式不为0

注：该定理可以对 AB=BA=E 左右两边同时求行列式可得。

定理2

若矩阵A的行列式不为0，则矩阵A可逆。

注：此定理可以通过矩阵的伴随矩阵求解

根据定理1，2我们可知，矩阵的行列式是否为0，是判断矩阵A是否具有逆矩阵的充要条件。

当矩阵的行列式为0时，矩阵成为奇异矩阵。

定理二推论：

1. 若A可逆，则 A−1 可逆，即 (A−1)−1=A
2. 若A可逆，λ不为0，则 λA 可逆，且 (λA)−1=1λA−1
3. 若A、B，同阶且可逆，则AB亦可逆，且 (AB)−1=B−1A−1

克拉默法则

法则总结

1. 克莱姆法则的重要理论价值：研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系;与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值。
2. 应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:
   
   1. 当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；
   2. 如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零
   3. 克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。
3. 克莱姆法则的局限性：
   
   1. 当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时，或者当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆法则失效。
   2. 运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。

在逆矩阵中 矩阵的行列式与矩阵与矩阵的余子式相称在证明逆矩阵定理中起到了很大的作用，因此在遇到逆矩阵时应该想到。