斐波那契 -- 矩阵快速幂

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前置知识

快速幂，矩阵乘法

题意

在斐波那契数列中，$F_0=0,F_1=1,F_n=F_{n-1}+F_{n-2}(n>1).$
给定整数 $n$ ，求 $F_{n}mod10000.$

数据范围：$0\le n\le 2\times 10^9$

思路

可以注意到这题的数据范围特别大，如果直接使用递推的话会超时，所以这题需要用矩阵快速幂来加速递推。

矩阵快速幂

首先把递推关系写成矩阵的形式
$$\left[\begin{array}{cc}{F}_n& F_{n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{F}_{n-1}+F_{n-2}& F_{n-1}\end{array}\right]$$
将等号右边改写为矩阵乘法的形式
$$\left[\begin{array}{cc}{F}_n& F_{n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{F}_{n-1}& F_{n-2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$
又因为
$$\left[\begin{array}{cc}{F}_{n-1}& F_{n-2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{F}_{n-2}& F_{n-3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$
所以
$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{cc}{F}_n& F_{n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{F}_{n-2}& F_{n-3}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^2 \\ ⋮ \\ \left[\begin{array}{cc}{F}_n& F_{n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{F}_1& F_0\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n-1} \end{gathered}$$
为了统一逻辑，我们在代码中这样实现
$$\left[\begin{array}{cc}{F}_{n+1}& F_n\\ 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{F}_1& F_0\\ 0& 0\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^n$$
这样可以只定义一个矩阵乘法方法且避免特殊判断第0项的情况。
令最终结果矩阵为 $D$，我们要求的 $Fn$ 就在 $D_{12}.$

code

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 2, mod = 10000;
int n;

struct matrix 
{
    int a[N][N];
    matrix() 
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));    
    }
    // 重写乘号为矩阵乘法
    matrix operator *(const matrix &b)
    {
        matrix c;
        for (int i = 0; i < N; i ++ )
            for (int j = 0; j < N; j ++ )
                for (int k = 0; k < N; k ++ )
                    c.a[i][j] = (c.a[i][j] + a[i][k] * b.a[k][j]) % mod;
        return c;
    }
};

// 快速幂
matrix quick_pow(matrix &M, int p) 
{
    matrix res;
    res.a[0][0] = res.a[1][1] = 1; // 对角矩阵，相当于连乘初始化变量为1
    while (p > 0)
    {
        if (p & 1) res = res * M; // 因为重写了*不能用 res *= M
        p >>= 1;
        M = M * M;
    }
    return res;
}

int main() 
{
    while (cin >> n, ~n) 
    {
        matrix A, B;
        A.a[0][0] = 1;
        B.a[0][0] = B.a[0][1] = B.a[1][0] = 1;
        matrix res = A * quick_pow(B, n);
        cout << res.a[0][1] << endl;
    }
    return 0;
}

复杂度

时间复杂度：$O(\log n)$
空间复杂度：$O(1)$