二叉搜索树、AVL树、红黑树详解

1. 二叉查找树

二叉查找树又叫二叉搜索树，也叫二叉排序树

特点：

• 若任意节点的左子树不为空，左子树上所有节点的值均小于他根节点的值；
• 若任意节点的右子树不为空，右子树上所有节点的值均大于他根节点的值；
• 任意节点的左、右子树也分别是二叉搜索树；
• 没有键值相等的节点；

2. 二叉搜索树

二叉搜索树 也叫 二叉查询树 也叫 二叉排序树

特点：

• 节点A，左节点值小于A，右节点值大于A；

• 任意节点的左子树不空，左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；

• 任意节点的右子树不空，右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；

• 任意节点的左、右子树也分别为二叉搜索树。

• 没有键值相等的节点。

• 对二叉查找树进行中序遍历，即可得到有序的数列

3. 二叉平衡树 AVL

• AVL是一颗高度平衡的二叉树，查询的时间复杂度是 O(logN)
• 左右子树高度差的绝对值不能超过1

3.1 左旋&右旋

• 左旋：将节点的右支往左拉，右子节点变父节点，晋升之后多余的左子节点让给降级节点当右子节点

• 右旋：将节点的左支往右拉，左子节点变父节点，晋升之后多余的右子节点让给降级节点当左子节点

3.2 二叉平衡树失衡的4种情况及如何处理

1. 左左：节点A的左子树的左子树上有新的节点加入，导致与节点A右子树高度差为2，解决办法：右旋
2. 右右：节点A的右子树的右子树上有新的节点加入，导致与节点A左子树高度差为2，解决办法：左旋
3. 左右：节点A的左子树的右子树上有新的节点加入，导致与节点A的右子树高度差为2，解决办法：先左旋，在右旋
4. 右左：节点A的右子树的左子树上有新的节点插入，导致与节点A的左子树高度差为2，解决方法：先右旋，在左旋

3.3 二叉树的遍历

二叉树的四种遍历方式：先序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历

1. 先序遍历：先输出根节点，在遍历左节点，在遍历右节点

​

2. 中序遍历：先遍历左节点、在输出根节点，在遍历右节点

​

3. 后序遍历：先遍历左节点，在遍历右节点，在输出根节点

​

4. 层序遍历：从上到下，从左到右，依次输出

​ A B C D E F G

4. 红黑树 red-black-tree

• 红黑树是每个节点都带有颜色属性的二叉查找树（红/黑）
• 红黑树从根到叶子的最长路径不会超过最短路径的2倍，解决了二叉查找树容易不平衡的缺陷，提高了读取性能。
• 红黑树在插入或删除的地方比AVL树的效率更高。

4.1 红黑树特点

• 节点有红黑两种颜色
• 根节点是黑色
• 叶子节点都是黑色的空节点（NIL节点）
• 每个红色节点下面的两个子节点都是黑色。（每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点）
• 任一节点到其每个叶子的路径都包含相同数量的黑色节点

4.2 红黑树 NIL 节点

NIL 即 Nothing In Leaf。NIL 节点是一种虚拟节点，出现于任何实际子节点不足 2 个的节点上（一个子节点都没有的节点上）

NIL 节点主要是为了避免新增或删除节点后，违反红黑树特性5。

例如：删除节点后如果不变色，可能根节点到A叶子长度为3，到B叶子长度为2

加深对NIL节点的理解，举个例子：

删除0001和0005节点后如下图所示：

在不考虑 NIL 节点的情况下，有些人会误认为红黑树已经平衡。但实际情况并非如此。加上NIL节后点如下图所示：

0006到NIL节点的路径有的2个黑色节点，有的3个黑色节点。违反了特性5：任一节点到其每个叶子的路径都包含相同数量的黑色节点

4.3 红黑树插入节点

插入新节点后，红黑树通过旋转+变色保持平衡，举个栗子

1. 在0007的左子节点的右子节点上，插入 A 【图二所示】
2. 将 B 左旋【图三所示：此时的情形与首次插入的 A 位于 B 的左侧的情形完全相同】
3. 然后将A右旋【图四】
4. 然后变色【图五】

4.4 插入后保持平衡

情况一：要插入的节点A的父节点B的兄弟节点是黑色：

左右 【左子节点的右子节点位置插入新节点】
新插入的 A 是父节点 B 的右子节点，B 是 A 祖父节点的左子节点时。维持平衡需要：左旋 --> 右旋 --> 变色，化如图所示：

右左 【右子节点的左子节点位置插入新的节点】
新插入的 A 是 B 的左子节点，而 B 是 A 的祖父节点的右子节点时。维持平衡需要：右旋 --> 左旋 --> 变色，如图所示：

情况二：要插入节点A的父节点B的兄弟节点是红色：

此时，A、B、B 的兄弟节点都是红色
这种情形比较简单，将 B、B 的兄弟节点置为黑色，同时将 A 的祖父节点 C 置为红色，即可保持两分支的黑色节点数量相同。红黑树的变化如图所示：