辗转相除法求最大公约数的原理及 Java 实现

一、什么是辗转相除法？

  辗转相除法可以求得两个数的最大公约数。辗转相除法又称欧几里得算法，用于计算两个非负整数 a，b 的最大公约数。应用领域有数学和计算机等，计算公式 gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)。

二、举例说明计算过程

  假如需要求 100 和 18 这两个正整数的最大公约数，用欧几里得算法，计算过程是这样的：

100 / 18 = 5 (余 10)
18 / 10= 1 (余 8)
10 / 8 = 1 (余 2)
8 / 2 = 4 (余 0)
至此，最大公约数为 2。

  以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式的除数作为最大公约数，所以就得出了 100 和 18 的最大公约数为 2。

三、为什么辗转相除就求出了最大公约数？

  为什么上述辗转相除就求出了最大公约数？我们结合例子，简述一下原理。
  如果我们要求 8251 与 6105 的最大公约数（我们设该最大公约数是 x）的话，假设 8251 是这个数 x 的 a 倍，再假设 6105 是 x 的 b 倍，那么 2146 = 8251 - 6105，是 x 的 (a - b) 倍，也是 x 的倍数。
而无论这几个数如何加减，甚至相乘，都还是最大公约数的倍数。
  我们就可以把求 8251 与 6105 的最大公约数简化成求 2146 和 6105 的最大公约数，再把求 2146 与 6105 的最大公约数简化为求 3959 ( = 6105 - 2146) 与 2146 的最大公约数。如此相减往复几次后，会发现两个数变相等了，这个数就是原来两个数的最大公约数。

四、Java 代码实现

	// 辗转相除法求两个数的最大公约数
    private static int getGcd(int num1, int num2) {
        while (num1 % num2 != 0) {
            int mod = num1 % num2;
            num1 = num2;
            num2 = mod;
        }
        return num2;
    }