函数的四大特性【概念向 + 图片解释】

一、有界性

x在 区间D 上（函数的有界性一定是针对某一区间的），存在

例如，对于函数来说，图像如下所示

当在时，函数有界f(x) <= 0.5

x \in (2 , +\infty )

当时，则函数无界

二、单调性

在定义域上任取 ，若，则为增函数；反之则为减函数

导数法

我们对f(x)求导后，当函数单调递增——↑；反之则单调递减——↓

定义法

千万别忘记定义法了！！！

因为数列是离散的，没办法求导，所以在求数列的单调性时是有大用的

若出现这种情况，则单调不减（多了一个等号）

三、奇偶性（最重要的性质！！！）

首先必须满足 定义域关于原点对称！！！

通常我们的判别是基于和进行判别的。

• 若为前者——奇函数（关于原点对称）
• 若为后者——偶函数（关于y轴对称）

常见表达式

F(x) = f(x) - f(-x)

例如：

上面当然就是奇函数了，但是为什么要除以2呢？

\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}

问题一：为什么ex - e-x是奇函数呢？

我们可以从函数变换角度来理解，首先ex 通过x轴翻转，到第四区间

然后再由前面的 -号，关于 y轴 翻转，到达第三区间

这样就和ex的第一区间（定义域关于原点对称，然后值为相反数了）——满足奇函数定义

问题二：为什么要/2呢？

因为/2之后有重要含义，我们先观察一下这个函数的图像

这个函数叫 双曲正弦线。

现在我们来看看另一个表达式，这个式子经常会出现在外面的数学题中。他们之间有不可告人的秘密

！！！！他们之间互为反函数！！！！

我们再在图中画出该函数和 y = x

• 绿色的就是对数的这个函数
• 红色的就是指数的函数

那么这个函数求导之后是谁呢？

这个积分之后呢就是

我们甚至可以把1给替换成a^2

问题三：为什么要叫双曲正弦？

因为后面有幂级数展开式，和全部都可以展开。

他们又都是奇函数，那么所有的偶数项都抵消了，只剩奇数次方

它展开的分母就是_奇数式阶乘

当我们看见 奇数式阶乘 ，除了sinx，还要想到这一个函数ex - e-x / 2！！！

（后面会填充原因）

F(x) = f(x) + f(-x)

和上面的奇函数类型，我们同样可以写一个偶函数出来

例如——双曲余弦

这个函数恰好就是我们戴项链时，项链符合的函数，也叫作悬链线

——这可是达芬奇画画时纠结画项链时的函数呢，他到死也不知道这是什么函数。这可不是简单的抛物线

200年后，一个数学家才搞清楚了，这叫悬链线（这个函数时其中的一种）

图像如下

F(x) = 1/2 [ f(x) + f(-x) ] + 1/2 [ f(x) - f(-x) ]

任何一个函数都可以写成一个奇函数 和 一个偶函数的和

这个世界是公平的，“数学我讨厌死你，要是我研究生不要用，你以为我会学你？”

你这么说，她会怎么想啊……对人对事应该都要一样的，真心待她，她终将会回报与你！

奇函数

因为它关于原点对称，所以

如果它在零点有定义，那么

这是一个隐蔽条件啊！！！

比如说，若f(x)在闭区间[ -1 , 1]是可导的奇函数，那么必有f(0) = 0

问题：为什么可导就一定有定义了？

因为可导必连续，连续必在这个点有定义。然后它有包含了数值为0的点

偶函数

因为它关于 Y轴对称，所以当存在时

必有 （切线一定水平）

与结论：当f(x)是可导的偶函数，那么导函数f’(x)就一定是奇函数 相对应

因为函数在0点有定义，所以必有 f(0) = 0

但是一般情况下，不在时简单的关于y轴对称了，而是关于某一个 x = T对称

如果有这样一个函数关于x = T对称，那么我任取一点

所以，我们可以得到

当令我们T - x = t，即 x = T - t

带入原式，即

替换回原始式子得到

所以，我们得到当f(x) 关于直线x = T对称时，充分必要条件是

• f(x) = f(2T - x)
• f(x + T) = f(T - x)

四、周期性

设f(x)定义域D，使得f(x + T) = f(x)

这在我们后面的一元积分学中有重要用途，例如说

在一个周期上的积分值，与起点无关

现在我们进行证明，定积分的几何意义——曲边梯形的面积

也就是这个脸的面积

那么如果变成 a 到 a + T，就相当于我们同时移动两支笔，中间所夹面积不变！

因为左边少多少，右边就会多多少

那如果这个函数是 奇函数，那么这个数值会等于几呢？

我们可以换算成
（取a = -T / 2）

然后因为奇函数关于原点对称，所以等于0！！！

神秘的数字——0

0在数量上是没有的，所以在 + / -的时候不体现！！！

我们知道拉格朗日中值定理，中间就涉及到 减法，式子如下

见到f - f，立即将拉格朗日写出来！！

然后出题老师就只出f了，所以就需要我们将其补全成f(b) - f(0)

若f(a) = 0，则f(b) = f(b) - f(a) => 拉格朗日

神秘的数字——1

1在 * 和 /的时候不体现！！！

若1 = e⁰ ,则e^b - 1 = e^b - e⁰ => f(b) - f(a) => 拉格朗日

若x > 0，证明 f(x) > f(1) x

将两边同时除以x，即证明

求导之后研究其单调性