线性回归当中的矩阵求导问题

问题

 

 

 

说明： y、w为列向量，X为矩阵

式子演化

看到这个例子不要急着去查表求导，先看看它的形式，是u(w)∗v(w)的形式，这种形式一般求导较为复杂，因此为了简化运算，我们先把式子展开成下面的样子（注意：(Xw)T=wTXT）： 

 

然后就可以写成四个部分求导的形式如下（累加后求导=求导后累加）： 

 

 

求导

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说明：分子部分为标量，分母部分为向量，找到维基百科中的Scalar-by-vector identities表格，在表格中匹配形式到第1行的位置，因为分母为列向量，因此为分母布局，对应的求导结果就是 0 。

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说明：同样的，在维基百科中的Scalar-by-vector identities表格，在表格中匹配形式到第11行的位置，对应的求导结果就是 XTy 。

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说明：因为分子为标量，标量的转置等于本身，所以对分子进行转置操作，其等价于第二部分。

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说明：同样的，在维基百科中的Scalar-by-vector identities表格，在表格中匹配形式到第13行的位置，矩阵的转置乘上本身（XTX）为对称矩阵当做表格中的A ，所以得到求导结果 2XTXw 。

整合

把四个部分求导结果进行相应的加减就可以得到最终的结果： 

得解