P2573 [SCOI2012]滑雪

题目描述

a180285 非常喜欢滑雪。他来到一座雪山，这里分布着 �m 条供滑行的轨道和 �n 个轨道之间的交点（同时也是景点），而且每个景点都有一编号 � (1≤�≤�)i (1≤i≤n) 和一高度 ℎ�hi​。

a180285 能从景点 �i 滑到景点 �j 当且仅当存在一条 �i 和 �j 之间的边，且 �i 的高度不小于 �j。与其他滑雪爱好者不同，a180285 喜欢用最短的滑行路径去访问尽量多的景点。如果仅仅访问一条路径上的景点，他会觉得数量太少。

于是 a18028 5拿出了他随身携带的时间胶囊。这是一种很神奇的药物，吃下之后可以立即回到上个经过的景点（不用移动也不被认为是 a180285 滑行的距离）。

请注意，这种神奇的药物是可以连续食用的，即能够回到较长时间之前到过的景点（比如上上个经过的景点和上上上个经过的景点）。 现在，a180285站在 11 号景点望着山下的目标，心潮澎湃。他十分想知道在不考虑时间胶囊消耗的情况下，以最短滑行距离滑到尽量多的景点的方案（即满足经过景点数最大的前提下使得滑行总距离最小）。你能帮他求出最短距离和景点数吗？

输入格式

输入的第一行是两个整数 �,�n,m。 接下来一行有 �n 个整数 ℎ�hi​，分别表示每个景点的高度。

接下来 �m 行，表示各个景点之间轨道分布的情况。每行三个整数 �,�,�u,v,k，表示编号为 �u 的景点和编号为 �v 的景点之间有一条长度为 �k 的轨道。

输出格式

输出一行，表示 a180285 最多能到达多少个景点，以及此时最短的滑行距离总和。

输入输出样例

输入 #1复制

3 3 
3 2 1 
1 2 1 
2 3 1 
1 3 10 

输出 #1复制

3 2

说明/提示

【数据范围】
对于 30%30% 的数据，1≤�≤20001≤n≤2000；
对于 100%100% 的数据，1≤�≤1051≤n≤105。

对于所有的数据，保证 1≤�≤1061≤m≤106 , 1≤ℎ�≤1091≤hi​≤109 ，1≤��≤1091≤ki​≤109。

图论水体

#include 
#define int long long
using namespace std;
const int N=100005;
const int M=2000005;
int n,m,tot,cnt,sum;
int h[N],fa[N];
bool vis[N];
int head[M];
int q[N];
struct NODE {
	int to,nex,v;
} bian[M];
struct Node {
	int x,y,z;
} zhn[M];
inline bool cmp(Node a,Node b) {
	if(h[a.y]!=h[b.y]) return h[a.y]>h[b.y];
	else return a.z'9') {
		if(ch=='-')f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9') {
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}
inline void add(int x,int y,int z) {
	++tot;
	bian[tot].nex=head[x];
	bian[tot].to=y;
	bian[tot].v=z;
	head[x]=tot;
}
int find(int x) {
	if(fa[x]!=x) fa[x]=find(fa[x]);
	return fa[x];
}
void bfs() {
	int r=0,l=0;
	q[++r]=1;
	vis[1]=1;
	while(l=h[y]) add(x,y,z);
		if(h[x]<=h[y]) add(y,x,z);
	}
	bfs();
	sort(zhn+1,zhn+cnt+1,cmp);
	int cntt=0;
	int ans=0;
	for(register int i=1; i<=cnt; i++) {
		int fa1=fa[find(zhn[i].x)];
		int fa2=fa[find(zhn[i].y)];
		if(fa1!=fa2) {
			fa[fa1]=fa2;
			ans+=zhn[i].z;
			cntt++;
		}
		if(cntt==sum) break;
	}
	printf("%lld %lld",sum+1,ans);
	return 0;
}

顺便复习一下图论

图论概念

平均路径长度

所有可能节点对应的最短路径长度的平均值。给出了图的“紧密度”度量，可用于了解此网络中某些内容的流动速度。

BFS和DFS

广度优先搜索和深度优先搜索是用于在图中搜索节点的两种不同算法。它们通常用于确定我们是否可以从给定节点到达某个节点。这也称为图遍历。

BFS的目的是尽可能接近根节点遍历图，而DFS算法旨在尽可能远离根节点。

中心性（Centrality）

用于分析网络的最广泛使用和最重要的概念工具之一。中心性旨在寻找网络中最重要的节点。可能存在对“重要”的不同理解，因此存在许多中心性度量标准。中心性标准本身就可以分成好多类。有一些标准是以沿着边的流动为特征，还有一些标准以步行结构（Walk Structure）为特征。

一些最常用的标准是：

• 度中心性（Degree Centrality） - 第一个也是概念上最简单的中心性定义。表示连接到某节点的边数。在有向图中，我们可以有2个度中心性度量。流入和流出的中心性。
• 紧密中心性（Closeness Centrality） - 从某节点到所有其他节点的最短路径的平均长度。
• 中介中心性（Betweenness Centrality） - 某节点在多少对节点的最短路径上。

这些中心性度量有不同变种，并且可以使用各种算法来实现定义。总而言之，这方面有大量的定义和算法。