经典数学模型之——灰度预测模型

1.灰度模型GM(1,1)简介和适用条件

①GM(1,1)简介：

灰度模型是一种强大的预测模型，是基于原始的数据进行累加计算求得一种规律在进行建模的模型，其强大在于将无序的原始序列可以转变为一种有序的生成指数序列，缺点在于它只适合于指数增长的预测，较为单一,GM(1,1)为一阶只含一个变量的微分方程模型。

②GM(1,1)适用条件和改进

（1）适用条件：

已知原始样本数量为$n$,这里首先定义可容覆盖区间$\Theta$如下：
$$\Theta =(e^{\frac{-2}{n+1}},e^{\frac{2}{n+2}})$$
我们现在假定原始数据样本$x$如下所示：

1	2	3	4	5	···	n
$x(1)$	$x(2)$	$x(3)$	$x(4)$	$x(5)$	···	$x(n)$

定义列序比$\lambda (k)$如下：
$$\lambda (k)=\frac{x(k-1)}{x(k)}(k=2,3,4,\cdot \cdot \cdot n)$$
若满足如下条件：
$$\forall k,\lambda (k)\in \Theta (k=2,3,4,\cdot \cdot \cdot n)$$
则我们称$x(0)$是可以作为GM(1,1)的数据而被灰度预测的。

（2）改进

若上述$x$不满足条件，则可以通过线性平移使得它满足条件：
$$y=x+c$$
$${\lambda }_1(k)=\frac{y(k-1)}{y(k)}(k=2,3,4,\cdot \cdot \cdot n)$$
$$\forall k,{\lambda }_1(k)\in \Theta (k=2,3,4,\cdot \cdot \cdot n)$$

③GM(1,1)建模公式

为方便读者建模使用，这里直接给出预测值模型公式，如读者想了解详细的建模过程，请查阅笔者给出的文献，下面我们记预测值记为$x_0(k)$
$$x_c(k+1)=(x(1)-\frac{\hat{b}}{\hat{a}})e^{-\hat{a}k}+\frac{\hat{b}}{\hat{a}}(k=0,1,2,3,4\cdot \cdot \cdot \cdot n-1\cdot \cdot \cdot )$$

建模结束还需要进行残差和级别差检验，定义残差$\rho$为
$$\rho (k)=x(k)-x_0(k)$$
定义级别差$\xi$为:
$$\xi (k)=1-\frac{1-0.5a}{1+0.5a}\lambda (k)$$
其中
$$x_0(k+1)=x_c(k+1)-x_c(k)(k=1,2,3,4\cdot \cdot \cdot \cdot n-1\cdot \cdot \cdot )$$
$$x_0(1)=x(1)$$

$$x^1(k)=\sum _{i=1}^{k}x(i)(k=1,2,3,4\cdot \cdot \cdot n)$$
$$z^1(k)=0.5x^1(k)+0.5x^1(k-1)(k=2,3,4\cdot \cdot \cdot n)$$
$$x(k)+a{z}^1(k)=b(k=2,3,4\cdot \cdot \cdot n)$$
$$B=\left[\begin{array}{cc}-z^1(2)& 1\\ -z^1(3)& 1\\ -z^1(4)& 1\\ \cdot \cdot \cdot & 1\\ -z^1(n)& 1\end{array}\right]$$
$$Y=[x(2),x(3),x(4),x(5)\cdot \cdot \cdot x(n){]}^T$$
$$[\hat{a},\hat{b}{]}^T=(B^{T}B{)}^{-1}{B}^{T}Y$$
若$\rho (k)<0.2$则认为达到一般要求，若$\rho (k)<0.1$，则认为达到较高要求。
若$\xi (k)<0.2$则认为达到一般要求，若$\xi (k)<0.1$，则认为达到较高要求。

④GM(1,1)建模应用

现在假设有如下数据集：让我们用灰度模型就行预测：
假设2000-2004年某地每年小麦产量如下所示：

年份	2000	2001	2002	2003	2004
数量	$101.5$	$102$	$102.3$	$102.2$	$102.0$

灰度模型预测过程如下：
首先列出原始数据集$x$：
$$x=(101.5,102,102.3,102.2,102.0)$$
利用下列公式求出级比如下：
$$\lambda (k)=\frac{x(k-1)}{x(k)}(k=2,3,4,\cdot \cdot \cdot n)$$
$$\lambda =(0.995098，0.997067，1.000978，1.001961)$$
而此时的$n$取为5，这样$\Theta$我们就可以确定下来了
$$\Theta =(0.7165,1.3965)$$
这样满足了$\forall k,{\lambda }_1(k)\in \Theta (k=2,3,4,\cdot \cdot \cdot n)$
也说明了$x(0)$是可以作为GM(1,1)的数据而应用的。
接下来我们需要求出$x^1$和$B$,由上可知由于：
$$x^1(k)=\sum _{i=1}^{k}x(i)(k=1,2,3,4\cdot \cdot \cdot n)$$
$$B=\left[\begin{array}{cc}-z^1(2)& 1\\ -z^1(3)& 1\\ -z^1(4)& 1\\ \cdot \cdot \cdot & 1\\ -z^1(n)& 1\end{array}\right]$$
故带入得到$x^1$和$B$：
$$x^1=(101.5,203.5,305.8,408,510)$$
$$B=\left[\begin{array}{cc}-0.5[x^1(1)+x^1(2)]& 1\\ -0.5[x^1(2)+x^1(3)]& 1\\ -0.5[x^1(3)+x^1(4)]& 1\\ -0.5[x^1(4)+x^1(5)]& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-152.5& 1\\ -254.65& 1\\ -356.9& 1\\ -459& 1\end{array}\right]$$
$$Y=[x(2),x(3),x(4),x(5)\cdot \cdot \cdot x(n){]}^T=\left[\begin{array}{c}101.5\\ 102.3\\ 102.2\\ 102\end{array}\right]$$
那么：
$$[\hat{a},\hat{b}{]}^T=(B^{T}B{)}^{-1}{B}^{T}Y=\left[\begin{array}{c}0.0000978234\\ 102.1549\end{array}\right]$$
最后代入到我们的预测回归的方程中去：
$$x_c(k+1)=(x(1)-\frac{\hat{b}}{\hat{a}})e^{-\hat{a}k}+\frac{\hat{b}}{\hat{a}}=1044177.400000786e^{-0.0000978234k}+1044278.900000786$$
令$k$=(1,2,3,4,5)分别与我们的原始值进行检测对比：-
$$x_c=(101.5,203.64,305.77,407.89,510)$$
$$x_0(k+1)=x_c(k+1)-x_c(k)(k=1,2,3,4\cdot \cdot \cdot \cdot n-1\cdot \cdot \cdot )$$
$$x_0(1)=x(1)$$
故$x_0$为：
$$x_0=(102.0000,102.14,102.13,102.12,102.11)$$
下面进行残差和级比偏差检验决定模型是否符合：
$$\rho (k)=x(k)-x_0(k)$$
$$\xi (k)=1-\frac{1-0.5a}{1+0.5a}\lambda (k)$$
结果为：

原始数据	预测数据	残差	级比偏差
101.5	101.50	0
102	102.14	-0.14	0.0050
102.3	102.13	0.17	0.0030
102.2	102.12	0.08	-0.0009
102.0	102.11	-0.11	-0.0019

可见精度较高，对应的MATLAB程序如下所示，如想替换原始数据可将x替换掉即可实现，但是要注意，一定要事先确认是否可灰度预测！：

x=[101.5,102,102.3,102.2,102.0];
[p,q]=size(x);
sum1=1;
for k=2:1:q
    lamuda(sum1)=x(k-1)/x(k);
    sum1=sum1+1
end
thrate1=exp(-2/(q+1));
thrate2=exp(2/(q+1));
for ll=1:1:q
    sum2=0
    for u=1:1:ll
        sum2=sum2+x(u)
    end
    x1(ll)=sum2;
end
for j=1:1:q-1
    B(j,1)=-0.5*(x1(j)+x1(j+1));
    B(j,2)=1;
end
Y=(x(2:1:q))'; 
result=(inv(B'*B))*B'*Y;
a1=result(1);b1=result(2);
canshu1=(x(1)-b1/a1);
canshu2=b1/a1;
yucesum(1)=x(1);
for g=1:1:q-1
yucesum(g+1)=canshu1*(exp(-a1*g))+canshu2;
end
x0(1)=x(1);
for r=1:1:q-1
    x0(r+1)=yucesum(r+1)-yucesum(r)
end
for o=1:1:q
cancha(o)=(x(o)-x0(o))
end
for h=1:1:q-1
    jibipiancha(h+1)=1-((1-0.5*a1)/(1+0.5*a1))*lamuda(h)
end
    

参考文献：数学建模算法与应用/国防工业出版社（司守奎等）