人工智能数学基础---定积分9:无界函数反常积分审敛法以及无界函数Γ函数介绍

一、引言

在《人工智能数学基础—定积分7:无界函数的反常积分计算》介绍了无界函数的反常积分概念、计算方法以及收敛性的判断方法,通过求被积函数的原函数,然后按定义取极限,根据极限的存在与否来判定是否收敛。除了这种方式判断无界函数的反常积分是否收敛外,还有一种反常积分收敛性的判断方法。这就是本节要介绍的无界函数的反常积分审敛法。

:所谓审敛法就是判断函数或级数是否收敛的方法。

二、无界函数反常积分审敛法

2.1、比较审敛法2

由《人工智能数学基础—定积分7:无界函数的反常积分计算》案例2可知,无界函数反常积分:
在这里插入图片描述
当q<1时收敛,当q≥1时发散。与《人工智能数学基础—定积分8:无穷限反常积分审敛法》介绍的比较审敛法1类似,可以得到无界函数反常积分的比较审敛法2。

定理:设函数f(x)在区间(a,b]上连续,且f(x)≥0,x=a为f(x)的瑕点。如果存在常数M>0及q<1,使得:
在这里插入图片描述
那么f(x)在区间(a,b]上对应的反常积分收敛;如果存在常数N>0,使得:
在这里插入图片描述

那么f(x)在区间(a,b]上对应的反常积分发散。

注意:针对第一个结论,这里的q的取值与比较审敛法1中p的取值对应的收敛情况恰好相反,老猿仔细思考发现,其实本质上二者对应的积分函数的原函数类似,如设t=x-a,则本定理中f(t)就类似比较审敛法1中的f(x),但二者的区间不同,在比较审敛法中x的区间为[a,+∞),而本定理中t的范围为(0,b-a],设M=N=1,在q≠1的情况下二者对应的被积函数本质上都是f(x)=1/xp

  1. f(x)的原函数=∫(1/xp)dx=∫x-pdx =( x-p+1)/(-p+1)+C=(x1-p)/(1-p)+C,假设C=0,则∫(1/xp)dx= (x1-p)/(1-p)
  2. 比较审敛法1中的f(x)的反常积分为区间为[a,+∞),当p>1时,根据原函数容易证明该反常积分收敛,p≤1时发散;
  3. 比较审敛法2中的f(t)的反常积分为区间为(0,b-a],当p<1时,根据原函数容易证明该反常积分收敛,当p≥1时发散。

因此两个比较审敛法因为积分区间不同导致p的取值对反常积分的收敛性产生了完全不同的影响。

2.2、极限审敛法2

定理4:设函数f(x)在区间(a,b]上连续,且f(x)≥0,x=a为f(x)的瑕点。如果存在常数0
在这里插入图片描述
存在,那么反常积分:
在这里插入图片描述
收敛,如果:
在这里插入图片描述
那么该反常积分发散。

应用案例:

人工智能数学基础---定积分9:无界函数反常积分审敛法以及无界函数Γ函数介绍_第1张图片

三、Γ函数

3.1、Γ函数定义

在这里插入图片描述

:Γ为希腊字母γ的大写,读gamma(伽玛)。

3.2、Γ函数收敛性判断

Γ函数右端积分中,当s<1时x=0是被积函数的瑕点,因此可以将该积分表示为如下两个积分的和:
在这里插入图片描述
对I1,当s≥1时,I1是定积分,当s<1时,因为:
在这里插入图片描述
根据比较审敛法2可以证明反常积分I1收敛。

再讨论I2,因为:
在这里插入图片描述
根据极限审敛法1可得到I2也收敛。

因此在s>0时,Γ函数收敛。

3.3、Γ函数的熟悉

3.3.1、Γ函数的图形

人工智能数学基础---定积分9:无界函数反常积分审敛法以及无界函数Γ函数介绍_第2张图片

3.3.2、Γ函数递推公式

Γ函数递推公式:Γ(s+1) = s Γ(s) (s>0)

证:应用分部积分法:
人工智能数学基础---定积分9:无界函数反常积分审敛法以及无界函数Γ函数介绍_第3张图片
一般地对于任何正整数n,有:Γ(n+1) = n!,因此可以把Γ函数看成是阶乘的推广。

3.3.3、当s->0+时,Γ(s)->+∞

证明:
因为Γ(s) = Γ(s+1)/s,因为Γ函数在s>0时连续,因此当s->0+时,lim Γ(s+1) = lim Γ(1),而Γ(1)=1,所以当s->0+时,Γ(s)->+∞。

3.3.4、余元公式

公式:Γ(s)Γ(1-s) = π/sin πs(0

这个公式的证明比较复杂,书上也没介绍,在此也不进行介绍,感兴趣的自己在网上查询。

当s=1/2时,由余元公式可得:
在这里插入图片描述

3.3.5、Γ函数应用

人工智能数学基础---定积分9:无界函数反常积分审敛法以及无界函数Γ函数介绍_第4张图片

四、小结

本文介绍了无界函数反常积分的比较审敛法和极限审敛法,以及特殊的无界函数Γ函数,以及Γ函数的一些特殊属性。

:这里比较审敛法2、极限审敛法2都带有2,是因为这两个方法对无穷限函数也有类似规则。

ps:本节为定积分的最后一节,后面还有定积分的应用和微分方程两章,暂时停一下,以后再学习。后面准备恢复数字图像处理的学习。

说明:

本文内容是老猿学习同济版高数的总结,有需要原教材电子版以及OpenCV、Python基础知识、、图像处理原理介绍相关电子资料,或对文章内有有疑问咨询的,请扫博客首页左边二维码加微信公号,根据加微信公号后的自动回复操作。

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