高等代数课程笔记（邱维声）：整理汇总

（邱维声）高等代数课程笔记：整理汇总

高等代数课程 - 邱维声

• 引言 高等代数的研究对象
  • 高等代数的主线
    • 线性空间的结构及其线性映射
    • 一元多项式环的结构及其通用性质
• 第1章 线性方程组的解法
  • 1.1 解线性方程组的矩阵消元法
  • 1.2 线性方程组解的情况及其判定
  • 1.3 数域
• 第2章 行列式
  • 2.1 n 元排列
  • 2.2 n 阶行列式的定义
  • 2.3 行列式的性质
  • 2.4 行列式按一行（列）展开
  • 2.5 Cramer 法则
  • 2.6 行列式按 k 行（列）展开
• 第3章 线性空间
  • 3.1 线性空间的概念，例子
  • 3.2 线性空间的子空间
  • 3.3 线性相关与线性无关的向量组
  • 3.4 极大线性无关组，向量组的秩
  • 3.5 基、维数与坐标
  • 3.6 矩阵的秩
  • 3.7 线性方程组有解的判定定理
  • 3.8 齐次线性方程组解集的结构
  • 3.9 非齐次线性方程组解集的结构
  • 3.10 子空间的运算
  • 3.11 线性空间的同构
  • 3.12 映射的乘法，可逆映射
  • 3.13 集合的划分，等价关系
  • 3.14 商空间
• 第4章 矩阵的运算
  • 4.1 矩阵的加法、数乘与乘法
  • 4.2 特殊矩阵
  • 4.3 可逆矩阵
  • 4.4 矩阵的分块
  • 4.5 矩阵乘积的行列式
• 第5章 一元多项式环
  • 5.1 一元多项式环的概念，性质
  • 5.2 整除关系，带余除法
  • 5.3 最大公因式
  • 5.4 不可约多项式，唯一因式分解定理
  • 5.5 一元多项式的根，复数域上的不可约多项式
  • 5.6 实数域上的不可约多项式
  • 5.7 有理数域上的不可约多项式
  • 5.8 模 m 剩余类环
• 第6章 线性映射
  • 6.1 线性映射的概念
  • 6.2 线性映射的运算
  • 6.3 线性映射的像与核
  • 6.4 线性变换的矩阵
  • 6.5 线性变换在不同基下的矩阵
  • 6.6 特征值与特征向量
  • 6.7 线性变换可对角化的条件
  • 6.8 线性变换的不变子空间
  • 6.9 线性变换的最小多项式
  • 6.10 幂零变换的 Jordan 标准形
  • 6.11 线性变换的 Jordan 标准形
  • 6.12 线性函数与对偶空间
• 第7章 双线性函数
  • 7.1 双线性函数的概念，性质
  • 7.2 对称（斜对称）双线性函数
• 第8章 具有度量的线性空间
  • 8.1 实内积空间的概念，性质
  • 8.2 实内积空间的结构
  • 8.3 正交变换
  • 8.4 对称变换
  • 8.5 酉空间
  • 8.6 酉变换
  • 8.7 Hermite 变换
• 第9章 n 元多项式环与二次型
  • 9.1 多元多项式的概念，性质
  • 9.2 二次型及其标准形
  • 9.3 实二次型的规范形
  • 9.4 正定二次型

参考

[1] 邱维声. 高等代数课程.

[2] 邱维声. 高等代数——大学高等代数课程创新教材. 北京：清华大学出版社,2010.