换门问题（蒙提霍尔问题）

学号：20011210126
姓名：刘岩哲
转载自：https://www.zhihu.com/question/26709273/answer/35800412

【嵌牛导读】

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。

【嵌牛鼻子】三门问题

【嵌牛正文】

那个被主持人打开的门你也可以选啊，只不过相当于放弃奖品而已，怎么就被脑补忽略了呢？所以还是三选一嘛。

如果你产生了困惑，其实核心问题根本不是计算，而是对问题规定的玩法没搞清楚。下面先介绍一点点基础知识，然后直接进入实战。

概率基础
概率是一个0~1之间的数，0表示不可能事件，1表示必然事件。如果一种游戏只有两种结果，比如掷硬币，公平的硬币正反面都是 1/2 即 50% 的概率。如果硬币不公平，正面的概率是 20% （掷1000次正面出现约200次），那么反面的概率就是：1-0.2=0.8=80%。

假设是一个掷硬币机，按一下按扭掷出一个硬币。但机器里有一半硬币是公平的，另一半是不公平的，正面概率 20% 。那么你按一下按扭，机器掷出硬币为正面的概率是：0.5 × 0.2+0.5 × 0.5=0.35=35%

得到反面的概率就是：1-0.35=0.65=65%

好了，理论知识到这就足够了，接下来只要搞清楚是不是每次游戏都进入计算就可以完美破解。只要每次游戏都进入计算，对手不会先赢，那么你初选中奖的概率一定就是：1/选项数

实战演练
经典蒙提霍尔问题中的游戏是这样设定的：

参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车或者是奖品，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车或奖品，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。

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以下几种玩法相信总有一款适合你。

玩法一
参赛者选定一门后直接开，问参赛者赢得汽车的机率是多大？

答案：1/3

解释：每次游戏都进入计算了吗？是的。

玩法二
参赛者先选定一门，然后主持人随机打开另两扇门中的一个门，问参赛者坚持初选赢得汽车的机率是多大？

答案：1/3。

解释：每次游戏都进入计算了吗？是的。

这和玩法一没有本质区别，每次游戏都进入统计，主持人开门的动作又不会改变你门里的东西，你坚持初选就可以当场打开，主持人是否开出车都不会影响你中奖的概率。

但这里要注意：你不能问换选的中奖概率是多大，因为主持如果开出来的是车，你就没有换选的机会了，见下一玩法

玩法三（很多人以为是这种玩法）
参赛者先选定一门，然后主持人随机打开另两扇门中的一个门，如果发现里面是羊，问你换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率？

答案：换不换都一样，各 50%。

解释：每次游戏都进入计算了吗？不是。

如果只看主持人开出羊的情况，剩下两个门二选一当然是各 50%了。但是如果主持人直接开出车的情况你算进去了吗？

玩法四
参赛者先选定一门，然后主持人随机打开另两扇门中的一个门。如果发现里面是羊参赛者就换选，如果是车，参赛者就没奖。参赛者中奖的概率是多大？

答案：1/3

解释：每次游戏都进入计算了吗？是的。

这相当于主持人和你一起玩，是你的对手，你和主持人各拥有 1/3 的概率，还有 1/3 你俩都没中。不管你们谁先选谁后选，哪怕选完后你觉得不公平，又找主持人打了一架，把他的选项给你，他另选一个呢。。。只要在开奖前你们的选择都是随机的，那你们的中奖概率都是1/3。

玩法五（真正的蒙提霍尔问题玩法）
当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，知道门后情形的节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率？

答案：换选中奖概率为2/3。

解释：每次游戏都进入计算了吗？是的。

主持人必然开出羊，这一点很关键，不存在主持人开出车的情况，所以每次游戏都进入统计了。如果你坚持初选，就和玩法一没有区别，中奖概率为 1/3，所以换选的概率就是1-1/3=2/3 。

这个问题你还可以这么看，参赛者选定后就和主持人形成对立的两派，一派是参赛者选的一个门，另一派是主持人那边的两个门，参赛者要么坚持初选，要么转投主持人方，转投的话主持人还帮忙排除了一个错误选项。所以坚持初选就是概率1/3，换选的概率就是（包括那个已经打开的门）2/3 概率。