换门问题(蒙提霍尔问题)

学号:20011210126
姓名:刘岩哲
转载自:https://www.zhihu.com/question/26709273/answer/35800412

【嵌牛导读】

三门问题(Monty Hall problem)亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论,大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔(Monty Hall)。

【嵌牛鼻子】三门问题

【嵌牛正文】

那个被主持人打开的门你也可以选啊,只不过相当于放弃奖品而已,怎么就被脑补忽略了呢?所以还是三选一嘛。

如果你产生了困惑,其实核心问题根本不是计算,而是对问题规定的玩法没搞清楚。下面先介绍一点点基础知识,然后直接进入实战。

概率基础
概率是一个0~1之间的数,0表示不可能事件,1表示必然事件。如果一种游戏只有两种结果,比如掷硬币,公平的硬币正反面都是 1/2 即 50% 的概率。如果硬币不公平,正面的概率是 20% (掷1000次正面出现约200次),那么反面的概率就是:1-0.2=0.8=80%。

假设是一个掷硬币机,按一下按扭掷出一个硬币。但机器里有一半硬币是公平的,另一半是不公平的,正面概率 20% 。那么你按一下按扭,机器掷出硬币为正面的概率是:0.5 × 0.2+0.5 × 0.5=0.35=35%

得到反面的概率就是:1-0.35=0.65=65%

好了,理论知识到这就足够了,接下来只要搞清楚是不是每次游戏都进入计算就可以完美破解。只要每次游戏都进入计算,对手不会先赢,那么你初选中奖的概率一定就是:1/选项数

实战演练
经典蒙提霍尔问题中的游戏是这样设定的:

参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车或者是奖品,选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车或奖品,而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。


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以下几种玩法相信总有一款适合你。

玩法一
参赛者选定一门后直接开,问参赛者赢得汽车的机率是多大?

答案:1/3

解释:每次游戏都进入计算了吗?是的。

玩法二
参赛者先选定一门,然后主持人随机打开另两扇门中的一个门,问参赛者坚持初选赢得汽车的机率是多大?

答案:1/3。

解释:每次游戏都进入计算了吗?是的。

这和玩法一没有本质区别,每次游戏都进入统计,主持人开门的动作又不会改变你门里的东西,你坚持初选就可以当场打开,主持人是否开出车都不会影响你中奖的概率。

但这里要注意:你不能问换选的中奖概率是多大,因为主持如果开出来的是车,你就没有换选的机会了,见下一玩法

玩法三(很多人以为是这种玩法)
参赛者先选定一门,然后主持人随机打开另两扇门中的一个门,如果发现里面是羊,问你换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率?

答案:换不换都一样,各 50%。

解释:每次游戏都进入计算了吗?不是。

如果只看主持人开出羊的情况,剩下两个门二选一当然是各 50%了。但是如果主持人直接开出车的情况你算进去了吗?

玩法四
参赛者先选定一门,然后主持人随机打开另两扇门中的一个门。如果发现里面是羊参赛者就换选,如果是车,参赛者就没奖。参赛者中奖的概率是多大?

答案:1/3

解释:每次游戏都进入计算了吗?是的。

这相当于主持人和你一起玩,是你的对手,你和主持人各拥有 1/3 的概率,还有 1/3 你俩都没中。不管你们谁先选谁后选,哪怕选完后你觉得不公平,又找主持人打了一架,把他的选项给你,他另选一个呢。。。只要在开奖前你们的选择都是随机的,那你们的中奖概率都是1/3。

玩法五(真正的蒙提霍尔问题玩法)
当参赛者选定了一扇门,但未去开启它的时候,知道门后情形的节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇,露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是:换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率?

答案:换选中奖概率为2/3。

解释:每次游戏都进入计算了吗?是的。

主持人必然开出羊,这一点很关键,不存在主持人开出车的情况,所以每次游戏都进入统计了。如果你坚持初选,就和玩法一没有区别,中奖概率为 1/3,所以换选的概率就是1-1/3=2/3 。

这个问题你还可以这么看,参赛者选定后就和主持人形成对立的两派,一派是参赛者选的一个门,另一派是主持人那边的两个门,参赛者要么坚持初选,要么转投主持人方,转投的话主持人还帮忙排除了一个错误选项。所以坚持初选就是概率1/3,换选的概率就是(包括那个已经打开的门)2/3 概率。

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