王道计算机组成原理课代表 - 考研计算机 第二章 数据的表示和运算 究极精华总结笔记
本篇博客是考研期间学习王道课程 传送门 的笔记，以及一整年里对
计算机组成知识点的理解的总结。希望对新一届的计算机考研人提供帮助！！！
关于对数据的表示和运算章节知识点总结的十分全面，涵括了《计算机组成原理》课程里的全部要点（本人来来回回过了三遍视频），其中还陆陆续续补充了许多内容，所以读者可以相信本篇博客对于考研计算机组成原理 “数据的表示和运算” 章节知识点的正确性与全面性；
但如果还有自主命题的学校，还需额外读者自行再观看对应学校的自主命题材料。
计算机组成原理笔记导航
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- 第二章 数据的表示和运算
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- 第五章 中央处理器
- 第六章 总线
- 第七章 输入输出系统
计算机组成原理 复试精简笔记 (加班中...)- 408 全套初复试笔记汇总 传送门
如果本篇文章对大家起到帮助的话，跪求各位帅哥美女们，
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你必考上研究生！我说的，耶稣来了也拦不住！
食用说明书：
第一遍学习王道课程时，我的笔记只有标题和截图，后来复习发现看只看图片，并不能很快的了解截图中要重点表达的知识点。
在第二遍复习中，我给每一张截图中 标记了重点，以及 每张图片上方总结了该图片 对应的知识点 以及自己的 思考 。
最后第三遍，查漏补缺。
所以 ，我把目录放在博客的前面，就是希望读者可以结合目录结构去更好的学习知识点，之后冲刺复习阶段脑海里可以浮现出该知识结构，做到对每一个知识点熟稔于心！
请读者放心！目录展示的知识点结构是十分合理的，可以放心使用该结构去记忆学习！
注意(⊙o⊙)！，每张图片上面的文字，都是该图对应的知识点总结，方便读者更快理解图片内容。
《计算机组成原理》第2章 数据的表示和运算
【考纲内容】
P38 ~
(一) 数制与编码 网课耗时：
2 h
- 进位计数制及其相互转换；
- 定点数的编码表示；
(二) 运算方法和运算电路
网课耗时：
1.5 h
- 基本运算部件：加法器，算法逻辑单元（ALU)；
- 加 / 减运算：补码加/减运算器，标志位的生成；
- 乘 / 除运算 ：乘/除法运算的基本原理，乘法运算和除法电路的基本结构；
(三) 整数的表示和运算
网课耗时：
1.5 h
- 无符号整数的表示和运算；
- 带符号整数的表示和运算；
(四) 浮点数的表示和运算
网课耗时：
1.5 h
- 浮点数的表示：IEEE 754标准；
- 浮点数的加/减运算；
【复习提示】
纵观近几年的真题，不难发现 unsigned、short、int、long、float、double 等在C语言中的表示、运算、溢出判断、隐式类型转换、强制类型转换、IEEE 754浮点数的表示，以及浮点数的运算，都是考研考查的重点,需要牢固掌握。
2.1 数制与编码
2.1.1 进位计数制与其相互转换
1. 进位计数法
对于
r进制来说，r 是 基数 ，ri 是第 i 位数的 位权；
2. 不同进制之间的相互转换
学了r进制，然后学各进制之间的转换，这合理吧！
(1) 任意进制 转换为 十进制（简单的一批）
以二进制举例： (11011.1)2 = (1 * 24) + (1 * 23) + (0 * 22) + (1 * 21) + (1 * 20) （按 “权” 展开法）
感兴趣可以再去了解课本里的 按基值重复相乘（除）法 本类型还可以推广到 二进制转换为r进制，方法类似。
(2) 十进制 转换为 任意进制
重点关注 十进制 转换为 二进制
① 整数十进制 转换为 二进制
举例：将十进制数123 转为 二进制数
| 重复除以2 | 得商 | 取余数 |
|---|---|---|
| 123÷2 | 61 | 1（最低位） |
| 61÷2 | 30 | 1 |
| 30÷2 | 15 | 0 |
| 15÷2 | 7 | 1 |
| 7÷2 | 3 | 1 |
| 3÷2 | 1 | 1 |
| 1÷2 | 0 | 1（最高位） |
| 答案：(123)十 = (1111011)二 |
② 小数十进制 转换为 二进制
举例：将十进制0.6875 转为 二进制
| 重复乘2 | 得小数部分 | 取整数 |
|---|---|---|
| 0.6875×2 | 0.3750 | 1（最高位） |
| 0.3750×2 | 0.7500 | 0 |
| 0.7500×2 | 0.5000 | 1 |
| 0.5000×2 | 0.0000 | 1（最低位） |
| 答案：(0.6875)十 = (0.1011)二 |
③ 补充：特殊分数 转换为 二进制
举例：
3/100 = 0.03 （分数可以转为小数）
7/16 = (111)2 × 2-4 = [0.0111]2
9/64 = (1001)2 × 2-6 = [0.001001]2
(3) 二进制 与 八、十六进制数 之间的转换
原理：23 = 8，24 = 16，故 三位二进制 正好对应 一位八进制，四位二进制 正好对应 ==一位十六进制；==反之同理。
举例：将二进制 1111000010.01101 分别转为八进制、十六进制数
具体过程看下图（十六进制和八进制差不多过程），答案：(1702.32)八， (3C2.68)十六
3. 真数 和 机器数
- 真值 ：带 “+” 或 “-” 的数；如：+15、-8；
- 机器数 ：把符号 “数字化” 的数；如；：0 1111、1 1000；（一定要注意符号位）
小结
2.1.2 BCD码
BCD ：Binary-Coded Decimal，用二进制编码的十进制，解决二进制转十进制的问题（快速转换、一一对应）
1. 8421BCD码
- 每四位二进制表示一位十进制（有6个冗余状态）；
- 8、4、2、1分别对应每一位的权值（有权码）；
- 0000 ~ 1001 分别对应 0 ~ 9，进行加法后若超出该范围，则需 +0110 进行修正；
2. 余3码
- 8421码 + (0011)2 （无权码）
3. 2421码
- 2、4、2、1分别对应每一位的权值；（有权码）
- 表示 0 ~ 4 时最高位为0，表示 5 ~ 9 时最高位为1；（避免歧义，例如5：1011 正确；0101 错误）
| 真值 | 8421BCD | 余3码 | 2421码 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 0011 | 0000 |
| 1 | 0001 | 0100 | 0001 |
| 3 | 0011 | 0110 | 0011 |
| …… | …… | …… | …… |
| 8 | 1000 | 1011 | 1110 |
| 9 | 1001 | 1100 | 1111 |
| 10 | 0001 0000 |
小结
2.1.3 奇偶校验码
不着急学习这个，学完 2.2.1 无符号数和有符号数 再回来看这个
1. 为什么要校验码 ？
答：检测错误；
数据传输过程中可能会出现错误，校验码首先就是能发现是否数据出错，其次是纠错！
2. 码距是什么 ？
码距是指在一个编码体系中，任意两个合法码之间，对应位上编码不同的最大位数（不懂看例子）
二位二进制（此时码距为1）：任意选两个（如：00、10），最多有1位不同。
三位二进制（此时码距为2）：任意选两个（如：000、110），最多有2位不同。
| 东 | 南 | 西 | 北 | |
|---|---|---|---|---|
| 两位二进制 | 00 | 01 | 10 | 11 |
| 三位二进制（采用偶校验） | 0 00 | 1 01 | 1 10 | 0 11 |
3. 校验码组成
校验码 = 校验位 + 数据位
奇偶校验分为 奇校验 和 偶校验
4. 奇偶校验码原理
以 “奇校验（校验码有奇数个1）” 举例： 发送方要发送一份8位数据：01010101；
经过“奇校验”处理：1 01010101
① 如果传输过程没出错
接收方收到数据：1 01010101；
接收方“奇校验”发现没错，就将数据解包得到数据位：01010101；
② 如果数据传输过程发送1位错误（随便1位不对，数据位、校验位都可能出错）
接收方收到数据：1 11010101；
当接收方“奇校验”发现有偶数个1，这就不对了，发现错误要求重发！
③ 如果数据传输过程发送2位错误（随便2位不对）
接收方收到数据：1 10010101；
当接收方“奇校验”发现有奇数个1，就发现不出错误！！！
通过例子总结下奇偶校验码的优缺点：
优点：校验位位数少，简单，传输效率高；
缺点：只能发现奇数个错误；
2.1.4 Hamming 校验码 *
计算机网络：第三章 数据链路层 3.2 差错控制
2.1.5 CRC循环冗余校验码 *
计算机网络：第三章 数据链路层 3.2 差错控制
2.2 数据的表示
2.2.1 无符号数和有符号数
计算机中参与运算的数分为两大类：
无符号数和有符号数
1. 无符号整数
概述（先简单了解，在下面学习中理解这几句话）：
计算机中的数都放在 寄存器 中，所以称寄存器的位数为 机器字长； 无符号数，就是将寄存器中的每一位数都用来存放数值；
当存放 有符号数 时，需留出位置存放符号；
当机器字长相同时，无符号数与有符号数所对应的 ==数值范围不同。==以机器字长为16位举例：
无符号数的表示范围：
0 ~ 65 535 有符号数的表示范围：
-32 768 ~ +32 767（对应补码）
(1) 无符号整数在计算机硬件中如何表示 ？
假设现有一台计算机，通用寄存器最多能存8位
(2) 无符号整数的运算
① 无符号整数的加法运算
② 无符号整数的减法运算
2. 带符号数
(1) 带符号整数在计算机硬件中如何表示 ？
假设现有一台计算机，通用寄存器最多能存8位
① 原码表示法
原码 ：带符号的绝对表示 N位原码的表示范围：[1 1……1， 0 1……1] （符号位占1位，剩余的是数值位）
整数范围：[ -(2n-1 -1), (2n-1 -1) ]
小数范围：[-(1 - 2-(n-1)), (1 - 2-(n-1))]
真数0有两种形式： [+0]原 = 0, 000；[-0]原 = 1, 000；（注意！与补码做对比）
| 形式（举例：四位原码） | 真数（整数） | 真数（小数） | |
|---|---|---|---|
| 最大正数 | 0 111 | 7 | 0.875 |
| 最小负数 | 1 111 | -7 | -0.875 |
原码特点：简单、直观，但是 ==不适合操作数异号的加法运算，==也就是符号位不能参与运算！（补码可以）
② 补码表示法
原码正数时，补码和原码相同； 原码负数时，除符号位外，各位取反，末位加1；
特点：N位补码表示范围 与 N位原码不同；补码在二进制中用来表示负数，解决 异号加法问题（符号位可以参与运算）
| -4 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 4 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 原码 | 1 100 | 1 010 | 1 001 | 0 000 | 0 001 | 0 010 | 0 100 |
| 补码 | 1 100 | 1 110 | 1 111 | 0 000 | 0 001 | 0 010 | 0 100 |
N位补码的表示范围：[ 1 0……0， 0 1……1]
整数范围：[ -2n-1, 2n-1 - 1]
小数范围：[ -1, 1 - 2-(n-1)]
注意！与原码相比，补码的0只有一种表示形式：0000；且规定把 1000 当作 -8
| （4位补码） | 形式 | 真数（整数） | 真数（小数） |
|---|---|---|---|
| 最大正数 | 0 111 | 7 | 0.875 |
| 最小负数 | 1 000 | -8 | -1 |
③ 反码表示法
原码正数时，反码和原码相同；
原码负数时，除符号位外，各位取反；
特点：做为
原码 - 反码 - 补码互相转换的中间计算过程； N位反码的表示范围 与 N位原码相同；
(2) 带符号数的运算
例题1：补码的加法运算
例题2：补码的加法运算
例题3：补码的减法运算
(3) 原、反、补码的特性比较
(4) 移码表示法
移码 ：在补码的基础上，将符号位取反 特点：补码不能 判断数值大小，移码可以；注意！移码 只能用于表示整数！
N位移码整数的表示范围和补码相同：[ -2n-1, 2n-1 - 1]；（真数0只有一种表示形式）
小结
2.2.2 数的定点表示
两种方法表示小数点的存在：定点表示 和 浮点表示 ；
定点数：小数点固定在某一位置的数；
1. 定点整数 和 定点小数（纯整数 和 纯小数）
2. 数的定点表示
注意 ！移码只能用来表示整数 ！
2.2.3 数的浮点表示
1. 浮点数的作用
n 位的定点数 能表示的范围有限，可以采用 浮点数 可以提高数据的表示能力；
【引例】浮点数 的原理类似 科学计数法：
阶码 + 尾数；
- 阶码表示数值 大小；
- 尾数反映数值 精度；
2. 浮点数的表示
浮点数的真值：N = M × r j ，由 阶码 j 和 尾数M 两部分组成。其中，M 是尾数，j 是阶码，r 是尾数的基值；
- 阶码 E 反映浮点数的 表示范围 ，是整数；
- 尾数 M 反映浮点数的 精度 ，是小数；
举例：
N = 11.0101
= 0.110101 × 210
= 1.10101 × 21
= 1101.01 × 2-10
= ……
3. 规格化
图中，使用 1B = 8bit 的存储空间来存储 b，会发现它最后一位的1存储不下了；
如果把 1 舍弃，那 b 的精度就下降了，可以采用浮点数 尾数的规格化 就是来解决这样的问题；
规格化浮点数，就是要求 尾数的数值部分的第一位，必须是一个有效值 ；
| 原码表示尾数 | 补码表示尾数 | |
|---|---|---|
| 正数最大值 | 0.11 … 1 = (1 - 2-n) | 0.11 … 1 = (1 - 2-n) |
| 正数最小值 | 0.10 … 0 = 1/2 | 0.10 … 0 = 1/2 |
| 负数最大值 | 1.10 … 0 = -1/2 | 1.01 … 0 |
| 负数最小值 | 1.11 … 1 | 1.00 … 0 = -1 |
【了解】浮点数的表示范围大纲已经删除
运算结果大于最大正数时称为 正上溢，小于绝对值最大负数时称为 负上溢，正上溢和负上溢统称 上溢； 数据一旦产生上溢，计算机必须中断运算操作，进行溢出处理；
当运算结果在0至最小正数之间时称为 正下溢 ，在0至绝对值最小负数之间时称为 负下溢 ，正下溢和负下溢统称 下溢 ；
数据下溢时，浮点数值趋于零，计算机仅将其当作机器零处理；
小结
2.2.4 浮点数的标准：IEEE 754
浮点数中，阶码 一般以 移码 的形式表示，现简单回顾下移码的知识点；
1. 移码的定义
移码最原始的定义为：
移码 = 真值 + 偏置值； 采用不同的 偏置值 ，就会得到不同的 移码；（下面例子分别采用偏置值为 128D、127D）
此时，移码的 偏置值 = 127D ，但也出现了一个问题：
例如：-128 的移码 = -1000 0000 + 0111 1111 = 1111 1111 ；
会发现 0111 1111 不够减，那么就会就其变成 1 0111 1111 ；
因为它们加减之后的结果相等于进行一个 28 的取余运算，所以加一个 1 0000 0000 给被减数，不会有影响还解决了问题；
2. IEEE 754标准
例1
例2
3. IEEE 754 的表示范围
IEEE 754所能表示的 最小绝对值 和 最大绝对值
阶码全 1，全 0 的的情况
小结
2.3 数据的运算
2.3.1 基本运算部件
1. ALU的作用、原理
左下侧红框是简易的 ALU 结构，两个输入信号 + 控制信号 = 输出信号 ；
右下侧是经典的 74181芯片，其中：
- ( M，S0，S1，S2，S3) ，是控制信号，M=1为逻辑运算，M=0为算术运算。S0 - S3，4bit 可以表示16种运算；
- A端和B端，分别是 4bit 的输入端；
- F端，4bit 的输出端；
- 其它未提及的端口，暂时不需要了解；
机器字长，指计算机能同时处理 nbit 运算，实际硬件原理就是 ALU 输入端的位数（例如下图中的 4bit）；
为了硬件之间的协调，寄存器 也会对应 ALU 相同的位数；
2. 电路基础知识
3. 加法器的实现
① 一位全加器
② 串行加法器
③ 并行加法器
④ 补码加法器
小结
2.3.2 定点数的移位运算
1. 算数移位
① 原码的算数移位
② 反码的算数移位
③ 补码的算数移位
2. 逻辑移位
3. 循环移位
小结
2.3.3 定点数的加减运算
2.3.4 定点数的乘除运算
1. 定点数的乘法运算
(1) 乘法运算的实现思想
(2) 原码一位乘法
(3) 补码乘法运算
小结
2. 定点数的除法运算
(1) 除法运算的思想
(2) 原码除法：恢复余数法
(3) 原码除法：加减交替法
(4) 补码除法：加减交替法
小结
2.3.5 浮点数的加减运算
1. 加减运算步骤介绍
- ① 对阶，规定小阶往大阶靠齐；
- ② 尾数加减；
- ③ 规格化
- ④ 舍入（看具体的舍入规则）；
- ⑤ 判溢出；
举例
2. 强制类型转换
下图结束了C语言中的 定点整数 如何进行强制类型转换；
小结
2.2.6 数据的存储和排序
边界对齐，是一种 空间换时间 的存储方式
2.4 常见问题和易混淆知识点
1. 如何表示一个数值数据 ？计算机中的数值数据都是二进制数吗 ？
在计算机内部，数值数据的表示方法有以下两大类：
① 直接用二进制数表示。
分为有符号数和无符号数，有符号数又分为定点数表示和浮点数表示。无符号数用来表示无符号整数（如地址等信息）。
② 二进制编码的十进制数，一般采用BCD码表示，用来表示整数。
所以，计算机中的数值数据虽然都用二进制表示，但不全是二进制，也有用十进制表示的。
后面一章有关指令类型的内容中，就分别有二进制加法指令和十进制加法指令。
2. 什么称为无符号整数的“溢出” ？
对于无符号定点整数来说，若寄存器位数不够，则计算机运算过程中一般保留低n位，舍弃高位。
这样，会产生以下两种结果：
① 保留的低n位数不能正确表示运算结果。
在这种情况下，意味着运算的结果超出了计算机所能表达的范围，有效数值进到了第n+1位，称此时发生了“溢出”现象。
② 保留的低n位数能正确表达计算结果，即高位的舍去并不影响其运算结果。
3. 如何判断一个浮点数是否是规格化数 ？
为了使浮点数能尽量多地表示有效位数，一般要求运算结果用规格化数形式表示。
规格化浮点数的尾数小数点后的第一位一定是个非零数。
因此，对于原码编码的尾数来说，只要看尾数的第一位是否为1就行；
对于补码表示的尾数，只要看符号位和尾数最高位是否相反。
需要注意的是，IEEE 754标准的浮点数尾数是用原码编码的。
4. 对于位数相同的定点数和浮点数，可表示的浮点数个数比定点数个数多吗 ？
不是，可表示的数据个数取决于编码所采用的位数。
编码位数一定，编码出来的数据个数就是一定的。
n位编码只能表示2n个数，所以对于相同位数的定点数和浮点数来说，可表示的数据个数应该一样多（有时可能由于一个值有两个或多个编码对应，编码个数会有少量差异)。
5. 浮点数如何进行舍入 ？
舍入方法选择的原则是：
① 尽量使误差范围对称，使得平均误差为0，即有舍有入，以防误差积累。
② 方法要简单，以加快速度。IEEE 754有以下4种舍入方式：
- 就近舍入：舍入为最近可表示的数，若结果值正好落在两个可表示数的中间，则一般选择舍入结果为偶数。
- 正向舍入：朝+∞方向舍入，即取右边的那个数。
- 负向舍入：朝-oo方向舍入，即取左边的那个数。
- 截去：朝0方向舍入，即取绝对值较小的那个数。
6. 现代计算机中是否要考虑原码加减运算 ？如何实现 ？
因为现代计算机中浮点数采用IEEE 754标准，所以在进行两个浮点数的加减运算时，必须考虑原码的加减运算，因为IEEE 754规足浮点数的尾数都用原码表示。
原码的加减运算可以有以下两种实现方式：
- 转换为补码后，用补码加减法实现，结果再转换为原码。
- 直接用原码进行加减运算，符号和数值部分分开进行（具体过程见原码加减运算部分）。
1）在计算机中，为什么要采用二进制来表示数据 ?
答案已在本章开头说明；
2）计算机在字长足够的情况下 能够精确地表示每个数吗 ？若不能，请举例说明。
计算机采用二进制来表示数据，在字长足够时，可以表示任何-一-个整数。而二进制表示小数时只能够用1/(2")的和的任意组合表示，即使字长很长，也不可能精确表示出所有小数，只能无限接近。例如0.1就无法用二进制精确地表示。
3）字长相同的情况下，浮点数和定点数的 表示范围与精度有什么区别 ?
字长相同时，浮点数取字长的一部分作为阶码，所以表示范围比定点数要大，而取一部分作为阶码也就代表着尾数部位的有效位数减少，而定点数字长的全部位都用来表示数值本身，精度要比同字长的浮点数更大。
4）用移码表示浮点数的阶码有什么好处 ?
浮点数进行加减运算时要比较阶码的大小，移码比较大小更方便。
检验移码的特殊值（О和max）时比较容易。阶码以移码编码时的特殊值如下。0:表示
指数为负无穷大，相当于分数分母无穷大，整个数无穷接近0，在尾数也为О时可用来表示0:尾数不为零表示未正规化的数。max:表示指数正无穷大，若尾数为0，则表示浮点数超出表示范围（正负无穷大);尾数不为0，则表示浮点数运算错误。。