王道数据结构课代表 - 考研数据结构 第五章 树和二叉树 究极精华总结笔记

本篇博客是考研期间学习王道课程 传送门 的笔记，以及一整年里对数据结构知识点的理解的总结。希望对新一届的计算机考研人提供帮助！！！
 
关于对 树和二叉树 章节知识点总结的十分全面，涵括了《王道数据结构》课程里的全部要点（本人来来回回过了三遍视频），其中还陆陆续续补充了许多内容，所以读者可以相信本篇博客对于考研数据结构“树和二叉树”章节知识点的正确性与全面性；
但如果还有自主命题的学校，还需额外读者自行再观看对应学校的自主命题材料。
 
数据结构与算法 笔记导航

1. 第一章 绪论(无)
2. 第二章 线性表
3. 第三章 栈和队列
4. 第四章 串-KMP(看毛片算法)
5. 第五章 树和二叉树 ⇦当前位置
6. 第六章 图
7. 第七章 查找(B树、散列表)
8. 第八章 排序 (内部排序：八大排序动图演示与实现 + 外部排序)
9. 数据结构与算法 复试精简笔记 (未完成)
10. 408 全套初复试笔记汇总 传送门 ‍‍‍
     

如果本篇文章对大家起到帮助的话，跪求各位帅哥美女们，求赞 、求收藏 、求关注！
你必考上研究生！我说的，耶稣来了也拦不住！

 

精准控时：
如果不实际操作代码，只是粗略过一下知识点，需花费 95 分钟左右过一遍
这个95分钟是我在后期冲刺复习多次尝试的时间，可以让我很好的在后期时间紧张的阶段下，合理分配复习时间；
但是刚开始看这份博客的读者也许会因为知识点陌生、笔记结构不太了解，花费许多时间，这都是正常的。
重点！！！学习一定要多总结多复习！重复、重复、再重复！！！

食用说明书：
第一遍学习王道课程时，我的笔记只有标题和截图，后来复习发现看只看图片，并不能很快的了解截图中要重点表达的知识点。
所以再第二遍复习中，我给每一张截图中标记了重点，以及每张图片上方总结了该图片对应的知识点以及自己的思考。
最后第三遍，查漏补缺。
所以 ，我把目录放在博客的前面，就是希望读者可以结合目录结构去更好的学习知识点，之后冲刺复习阶段脑海里可以浮现出该知识结构，做到对每一个知识点熟稔于心！
请读者放心！目录展示的知识点结构是十分合理的，可以放心使用该结构去记忆学习！
注意(⊙o⊙)！，每张图片上面的文字，都是该图对应的知识点总结，方便读者更快理解图片内容。

 

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第5章 树和二叉树

5.1 树和二叉树的定义

5.1.1 树的定义

• 根节点、分支结点、边、叶子结点
• 空树、非空树
• 前驱（除根结点之外，所有结点有且只有一个前驱）、后继（0个或多个后继）

• 根（特定、唯一）
• m个不相交的有限集合

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5.1.2 树的基本术语

• 祖先结点：直系长辈 - 父亲、爷爷
• 子孙结点：直系子孙
• 孩子结点：只是下一代孩子
• 兄弟结点：父亲、二叔
• 堂兄弟结点：L、M（也可以知道L、M位于同一层）
• ！！！ 路径：只能从上往下
• 路径长度：经过几条边
• ！！！树的路径长度：从根节点到每个结点的路径长度的总和

• 结点的层次：从1开始（考试的时候看实际情况），从上往下
• 结点的高度：从下往上
• 树的高度（深度）：有几层
• 结点的度（和 “高度” 做区别）：有几个分支
• 树的度：最大的结点度

• 有序树：从左至右有次序
• 无序树

• 森林：互不相交的的树的集合
• 可以有空森林

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5.1.3 树的性质

• 结点数 = 总度数（边数） + 1

• m叉树：可以所有结点的度都 < =m（结点的度最大为m，可以为空树）
• 度为m的树：至少一个结点的度 = m（至少m+1个结点）

• 1：m^0
• 2：1 * m
• 3：1 * m * m
• n：m ^ （n-1）

• 在考点3的基础上，等比数列求和

• 高h的 “m叉树” 至少结点数：h
• 高h的 “度为m树” 至少结点数：h+m-1

• 借助考点4的知识，高度为h的m叉树的最大结点数
• 注意！向上取整

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5.1.4 二叉树的定义

• m（m=2）叉树，可以为空（n=2）
• 注意1：和 “度为2” 的树区别
• 注意2：二叉树是有序树，那么就说明左右子树不能颠倒

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5.2 二叉树的性质和存储结构

5.2.1 几种特殊的二叉树

1.满二叉树

• 每一层都是满的
• 只有最后一层有叶子结点
• 不存在度为1的结点
• 结点 i 的左孩子为 2i，右孩子为 2i+1

2.完全二叉树

• 在满2叉树的基础上，从最后一个结点开始去掉结点。
• 只有最后两层有叶子结点
• 你可以试一下，只能有一个结点的度为1（或者没有）
• 结点 i 的左孩子为 2i，右孩子为 2i+1
• 分支结点 和 叶子结点 的 “分界线” 可以知道 —— n/2

• 从后往前删除结点，肯定先删除的右孩子，故剩下的左孩子

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3.二叉排序树

• 前面介绍的满二叉树、完全二叉树是在形态上的特殊二叉树
• 二叉排序树是在功能上特殊的二叉排序树
• 左 < 根 < 右

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4.平衡二叉树

• |左子树高度（深度）- 右子树| <= 1
• 从下面的图可以看出来，左边平衡二叉树的搜索效率更高

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5.小结

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5.2.2 二叉树的性质

1.二叉树的参考性质

• 联立下面的两个方程得知：叶子结点的数量 比 度为2结点的数量 多一个

• 这个之前介绍过了，等比数列嘛，懂得都懂！

• 还是之前介绍过了，等比数列求和

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2.完全二叉树的参考性质

• 方法一：注意向上取整
• 等号在哪，往哪取整！

• 方法二：注意向下取整
• 等号在哪，往哪取整！

• 完全二叉树中，度为1的结点只能有一个（或者没有）
• 那么可以知道，结点数为偶数，有一个度为1的结点
• 结点数为奇数，没有度为1的结点
• 叶子结点数 - 度为2的结点数 = 1
• 结合上面的分析，就可以得到下图中的结论

3.小结

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5.2.3 二叉树的存储结构

1.顺序存储

1）算法思想

• tree[0]空着，方便后序操作，例如左孩子（i/2），右孩子（i/2+1）
• 结点结构体里的 bool 属性，为true说明为空

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2）代码实现

#include 
using namespace std;
// ? 本代码实现对二叉树的顺序存储结构
// ? 适合存储完全二叉树的情况

#define MAX_SIZE 100
// ! 顺序存储结点的数组结点
struct TreeNode
{
  int value;  // 结点中的数据元素
  bool isEmpty; // 结点是否为空 (true为空)
};

// ! 初始化静态数组树
// ! 数组当形参时，就是传引用
void InitTreeNode(TreeNode t[])
{
  for (int i = 0; i < MAX_SIZE; i++)
  {
 	  t[i].isEmpty = true; // 初始化时所有结点标记为空
  }
}

int main()
{
  TreeNode t[MAX_SIZE]; // 声明一个顺序存储表
  InitTreeNode(t);   // 初始化顺序存储表
  // ! 此时t就相当于一颗二叉树
}

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3）算法分析

• 这些我就不一一介绍了
• 需要注意一下第i个结点所在的层次，看不懂的话就去看 “二叉树的性质” 那一小节

• 顺序存储 对于 非完全二叉树 的存储情况很不友好

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2.链式存储

1）算法思想

• ！！！n个结点的二叉链表共有n+1个空链域（你数数下图中空指针，发现确实是n+1个）
• ！！！这些空指针域是有大用处的，具体在线索二叉树那块介绍

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2）代码实现

// ? 链式存储的结点结构体
typedef struct BiTNode
{
    ElemType data;
    struct BiTNode *lchild, *rchild;
} BiTNode, *BiTree;

// 定义一颗空树
BiTree root = NULL;
root = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));

// 定义一个二叉树结点
BiTnode *p = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode));

/*
	从上面可以看出 BiTNode 和 *BiTree的区别。
	
	分析下 root
		1、它并不是二叉树结点，它是指向一个二叉树结点。
		2、它不仅仅代表一个二叉树结点，实际象征着一棵链式二叉树
	
	p才真正代表一个二叉树结点指针
*/

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3）算法分析

• 链式存储的结点里，因为存在左、右孩子指针，所以找左、右孩子十分方便
• 对比顺序存储找左、右孩子（完全二叉树情况），顺序存储是（i/2，i/2+1），也挺方便的
• 但是，找父结点就不太方便了（考研中一般考不带父指针的情况）

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3）小结

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5.3 遍历二叉树和线索二叉树

5.3.1 遍历二叉树

1.算法思想

• 先序遍历：根 --> 左 --> 右
• 中序遍历：左 --> 根 --> 右
• 后序遍历：左 --> 右 --> 根

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2.代码实现 - 先中后

#include 
using namespace std;
// ? 本代码实现二叉树DualTree的链式存储
// ! 实验数据: -+a##*b##-c##d##/e##f##

// ! 二叉树结点
typedef struct BiTNode
{
    char data;                       // 数据域
    struct BiTNode *lchild, *rchild; // 指针域：左、右孩子指针
} BiTNode, *BiTree;

// ! 初始化二叉树
void InitTreeRoot(BiTree &root)
{
    root = NULL;
}

// ! 添加新结点
void InsertBiTNode(BiTree &root)
{
    char ch;
    cin >> ch;
    if (ch == '#')
    {
        root = NULL;
    }
    else
    {
        root = (BiTree)malloc(sizeof(BiTree));
        root->data = ch;
        InsertBiTNode(root->lchild);
        InsertBiTNode(root->rchild);
    }
}

// ! 先序遍历
void ProOrder(BiTree root)
{
    if (root == NULL)
    {
        return;
    }
    cout << root->data << " ";
    ProOrder(root->lchild);
    ProOrder(root->rchild);
}

// ! 中序遍历
void MiddleOrder(BiTree root)
{
    if (root == NULL)
    {
        return;
    }
    MiddleOrder(root->lchild);
    cout << root->data << " ";
    MiddleOrder(root->rchild);
}

// ! 后序遍历
void PostOrder(BiTree root)
{
    if (root == NULL)
    {
        return;
    }
    PostOrder(root->lchild);
    PostOrder(root->rchild);
    cout << root->data << " ";
}

int main()
{
    BiTree biTree;
    InitTreeRoot(biTree);
    InsertBiTNode(biTree);
    cout << "先 序 遍 历: ";
    ProOrder(biTree);
    cout << endl
         << "中 序 遍 历: ";
    MiddleOrder(biTree);
    cout << endl
         << "后 序 遍 历: ";
    PostOrder(biTree);
    cout << endl
         << "树的深度：" << TreeDepth(biTree);
    return 0;
}

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3.先序遍历

• visit(BiTree T) 函数可以定义一下自己想要的操作，例如打印输出

• 空间复杂度：O( h + 1 )，h为高度，+1是处理最后的空结点（+1可以舍去）

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4.中序遍历

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5.后序遍历

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6.树的深度

// ! 求树的深度
int TreeDepth(BiTree root)
{
    if (root == NULL)
    {
        return 0;
    }
    int l = TreeDepth(root->lchild);
    int r = TreeDepth(root->rchild);
    return l > r ? l + 1 : r + 1;
}

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7.层次遍历

1）算法思想

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2）代码实现

// ? 下面实现二叉树的层序遍历

// ! 链式队列结点
typedef struct LinkNode
{
    BiTNode *data; // 此处代表的含义是指针，不是结点；与二叉树不同，看下图对比
    struct LinkNode *next;
} LinkNode;

// ! 辅助队列
typedef struct
{
    LinkNode *front, *rear; // 队列的对头、队尾
} LinkQueue;

void LevelOrder(BiTree root)
{
    LinkQueue Q;
    // ……
}

• 使用辅助队列，而且并不是存入结点，而是存入指向该结点的指针

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8.小结

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5.3.2 根据遍历序列确定二叉树

1.单个遍历序列确定二叉树

• ① 中序遍历可以对应多种形态 （不唯一）

• ② 前序遍历可以对应多种形态 （不唯一）

• ③ 后序遍历可以对应多种形态 （不唯一）

• ④ 层序遍历也会对应多种不同形态的二叉树（不唯一）

• ⑤ 结论 - 关键：中序遍历

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2.算法思想 - 举例

• 前序第一个元素，A为根结点，那么可以把中序序列划分成左、右子树了
• 并且通过中序序列，可以知道左、右子树各自的结点数（看A的位置）
• 元素D，为左子树的根结点，再进一步划分

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3.小结

• 在这4种构造二叉树的问题中，其实都是对 中序序列 的划分
• 使用 前序 去划分中序
• 使用 后序 去划分中序
• 使用 层序 去划分中序
• ！！！这一小节老师没有提到代码，课后自己可以尝试补充！！！

• 没有中序序列，不能构造二叉树

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5.3.3 线索二叉树

1.前言

• 之前二叉树的缺点
  • 1、必须从根结点开始遍历，不能从指定结点开始
  • 2、找前驱、后继很麻烦（从头遍历 + 辅助指针pre）
• 为什么找后继也很麻烦呢？
  • 后继和孩子结点不同
  • 因为我们此时是从中序遍历序列去指定一个结点，例如G，如果要找G的后继：
    • 1、需要sub指针
    • 2、当q指针找到p（q==p，有传入p指针当参数的情况），sub才能记录p的后继
    • 3、如果没有插入p指针，就对比结点里的数据是否相等
• 想要下图的过程代码，跳到5.3.4二叉树线索化 1.老办法小节

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2.线索二叉树的基本概念

• 之前在二叉树的链式存储小结提到：n个结点的二叉树有n+1个空链域，就是用在二叉树线索化中

• 左孩子指针 - 存储前驱线索

• 右孩子指针 - 存储后继线索

• 注意了！！！注意，此时我们提到的前驱、后继是中序遍历序列里的前驱、后继。和二叉树结点的前驱（双亲）和后继（子孙）不一样。

• 所以，看下面的图中，D的左孩子指针为NULL，因为D在中序遍历序列里面没有前驱

• 再一次注意了！有右孩子的时候，右孩子也不一定是后继，比如AC，A的后继是F

• 再举个例子，看BE，如果E的左子树不为空，那么B的后继就不是E了

• 接着上一行的问题，如果一个结点的右孩子指针指向右孩子，而不是后继线索，那么如何查找后继呢？

• 答案会在5.3.5 线索二叉树的使用里介绍

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3.线索二叉树的存储结构

// 左、右线索标志
typedef struct ThreadNode{
	ElemType data;
    struct ThreadNode *lchild, *rchild;
    int lTag, rTag;	// 0指向孩子；1指向线索
}
// 此时可以叫做线索链表

• 从1到3小节，都是以“中序线索二叉树的构造”举例介绍线索二叉树的思想，下一小节里就只介绍先序、后序线索二叉树了

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4.线索二叉树的构造

• ① 先序线索二叉树

• ② 后序线索二叉树

• ③ 三种线索二叉树的对比

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5.3.4 二叉树线索化

1.老办法

• 如果对于老办法还不太清楚的话，去5.3.3线索二叉树 1.前言小节，有具体介绍

// 辅助全局变量，用于查找结点p的前驱
BiTNode *;				// p指向目的结点
BiTNode *pre = NULL;	// 指向点前访问结点的前驱
BiTNode *final = NULL;	// 用于记录最终结果

// 访问结点q
void visit(BiTNode *q) {，
    if (q==p)
        final = pre;
    else
        pre = q;
}
// 寻找中序前驱就少不了中序遍历
void FindPre(BiTree T) {
    if (T!=NULL) {
        InOrder(T->lchild);
        visit(T);
        InOrder(T->rchild);
    }
}

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2.中序线索化

这里重点介绍中序线索化，后面的先序、后序线索化思想类似，就不会再大量描述了

1）算法思想

• 线索二叉树的结点结构体里有标志位属性
• 最后线索化结束了，还没有将C的右孩子指针还没线索化
• 可以借助pre是全局变量的特性，并且最后pre就是指向C结点，通过pre对rchild设置为NULL，rTag也得为1，因为这是一颗被线索化过的二叉树

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2）代码实现

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3）算法分析

• 思考：处理遍历的最后一个结点（结点i）时，为什么没有判断rchild是否为空？
• 回答：中序遍历的顺序：左-根-右。如果最后遍历的结点有右孩子，那么还会接着遍历，因为是左-根-右。此时结点i就是根，左孩子已经先一步遍历完了。
• 上面的解释如果觉得看不懂得话，就换一种思路，问：最后一个结点可以有左、右孩子吗？
  • 左孩子，可以。因为遍历顺序左-根-右，最后一个结点得左孩子已经遍历完了，不影响。
  • 右孩子，不可以。因为还得接着遍历，这样这个结点就不是最后一个结点了，矛盾。

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3.先序线索化

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4.后序线索化

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5.小结

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5.3.5 线索二叉树的使用

1.中序线索二叉树

1）找中序后继

• 在中序线索二叉树中，如果p->rTag==1，右孩子指针被线索化了，那么直接得到中序后继
• 若p->rTag==0，有右孩子。就要找右子树得中序遍历最左边的结点

• FirstNode(ThreadNode *p)函数：得到以p为根的子树中，第一个被中序遍历的结点（会去找左下角）

• NextNode(ThreadNode *p)函数：得到p结点在中序遍历里的后继结点

• 那么借助上面两个函数就能对二叉树进行中序遍历了：

  • 1、先使用第一个函数得到第一个被中序遍历的结点
  • 2、以这个结点开始，给第二个函数传入传参数，得到一下个中序遍历的结点，以此类推

• 这种使用for循环的中序遍历二叉树，空间复杂度只需要O（1）

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2）找中序前驱

• 和找中序后序的思想差不多，就不再写了
• 找左子树的最右边的结点（左-根-右）

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2.先序线索二叉树

1）找先序后继

• 1、当rTag为1，被线索化，直接指向先序后继
• 2、当rTag为0，指向右孩子，可以知道p有右孩子，但不确定有没有左孩子。此时就需要分情况讨论了：
  • ① 有左孩子，先序后继就是左孩子自己（根-左-右）
  • ② 没有左孩子，先序后继就是右孩子自己（根-左-右）

2）找先序前驱

• ltag==1，左孩子被线索化，直接得到先序前驱
• ltag==0，有左孩子。根据先序遍历的顺序（根-左-右），p的左、右子树遍历的元素都只能是p的后继，故得不到p的前驱。
• 硬要找的话，只能使用土办法

• 上面说到先序线索二叉树找先序前驱实现不了，那如果加一个条件，多一个p的父结点，此时还能找到p的先序前驱吗？—— 看一下图
• 下图中红色的结点就是p的位置，下图分了4种p可能出现的位置讨论

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3.后序线索二叉树

1）找后序后继

• 1、当rTag为1，被线索化，直接指向后序后继
• 2、当rTag为0时，有右孩子。因为后序遍历（左-右-根），那么左、右子树结点只能是p的前驱，所以无法再后序线索二叉树种找到p的后序后继。
• 3、硬找的话：土办法

• 上面说到后序线索二叉树找先序后继实现不了，那如果加一个条件，多一个p的父结点，此时还能找到p的先序后继吗？—— 看一下图
• 下图中红色的结点就是p的位置，下图分了4种p可能出现的位置讨论

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2）找后序前驱

• 1、lTag==1，左孩子被线索化，直接得到后序前驱
• 2、lTag==0，有左孩子结点。因为不清楚有没有右孩子，需要分情况讨论：
  • ① 、有右孩子，根据后序遍历顺序（左-右-根p），p的后序前序就是它的右孩子
  • ② 、没有右孩子，（左-空-根p），p的后序前驱就是它的左孩子
  • ③ 、①和②虽然都得再一次分别对右子树、左子树进行后序遍历，但根据（左右根），最靠近p的还是左、右儿子结点

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4.小结

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5.4 树和森林

5.4.1 树的存储结构

1.树的逻辑结构回顾

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2.双亲表示法 - 顺序

1）算法思想

• 双亲表示法，注意和之前二叉树的顺序存储（适用于完全二叉树）之间的区别

2）增、删操作

• ① 增

• 直接在存储数组的末尾添加元素即可，不需要按照层序遍历顺序

• ② 删
• 直接将该结点的数据域清空，指针域设置为-1
• 这种删除方案有缺陷，如果删除过多元素的话，那么使得数组里的空数据较多，减低检索速率

• 清空数组表里对于元素的数据域和指针域，再把最底下的元素上移填充空白
• 查找操作：
  • ① 查找p的双亲时，十分简单
  • ② 查找p的子孙时，需要将数组遍历，查找双亲是p的结点，很不方便

• 当删除分支结点的时候，不只是删除一个结点那么简单，得把子孙结点通通删除

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3.孩子表示法 - 顺序 + 链式

• 有几个结点，数组就有几个元素
• 数组元素的指针域指向第一个孩子结点
• 孩子结点结构（数据域，指针域）

// 链结点
struct CTNode {
    int child;		// 孩子结点在数组的位置
    struct CTNode *next;	// 下一个孩子
};
// 数组结点
typedef struct {
    ElemType data;
    struct CTNode *firstChild;	// 第一个孩子
}  CTBox;
// 孩子表示法的树结构
typedef struct {
    CTBox nodes[TREE_INIT_SIZE];
    int n, r;	// 记录结点数和根的位置
} CTree;

• 找孩子方便，找双亲不太方便

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4.孩子兄弟表示法

• 乍一看孩子兄弟表示法的结点结构 和 二叉链表的结点结构，不能说毫不相关吧，只能说是一模一样！
• 它们的区别就在与指针域所表示的意义不同

typedef struct BiTNode{  ElemType data;  struct BiTNode *lchild, *rchild;	// 左、右孩子指针} BiTNode, *BiTree;typdef struct CSNode{    ElemType data;    struct CSNode *firstChild,*nextSibling;	// 第一个孩子 和 右兄弟指针} CSNode, *CSTree;

• 在这也可以初步认识 树 --> 二叉树 的转换问题

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5.树、森林与二叉树的转换

• 1、先将森林里的各棵树使用上面的 “孩子兄弟表示法” 转换一下
• 2、在将转换后的各棵树再使用 “孩子兄弟表示法” 连接起来

• 懂了森林如何转换成二叉树，那么反过来转换也差不多明白了

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6.小结

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5.4.2 树和森林的遍历

1.树的遍历

• 回顾下树的逻辑结构
• 注意！！！树没有中根遍历，和之前二叉树的中序遍历不一样，因为树可以有很多个分支，怎么中根呢？

1）先根遍历

• 重要结论：树的 先根遍历序列 和 对应的二叉树 的先序序列相同

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2）后跟遍历

• 重要结论：树的 后根遍历序列 和 对应的二叉树 的中序序列相同 ，对！你没有看错，是中序序列

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3）层次遍历

• 层次遍历就是广度优先遍历
• 上面的先根、后根遍历就是深度优先遍历

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2.森林的遍历

1）先序遍历

• 森林的先序遍历
• 方法一：依次地对树进行先根遍历（就树比较奇葩，叫先跟，不是先序）

• 森林的先序遍历 - 方法二：
• 1、先将森林转换成对应的二叉树
• 2、对二叉树进行先序遍历

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2）中序遍历

• 方法一：依次地对树进行后序遍历（注意！！！森林中序 = 树后根遍历）

• 森林的中序遍历 - 方法二：
• 1、先将森林转换成对应的二叉树
• 2、对二叉树进行中序遍历 （注意！！！森林中序 = 二叉树中序）

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3.小结

• 后序去哪了？？？

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5.5 树和二叉树的应用

5.5.1 二叉排序树（BST）

1.定义

• 二叉排序树：所有结点满足（左 < 根 < 右）

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2.查找

• ① 非递归方式实现二叉排序树的查找

• ② 递归方式实现二叉排序树的查找
• O（h）空间复杂度：树高几层 就会 递归几层

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3.插入

• 1、新插入的结点一定是叶子结点（规定的）
• 2、二叉排序树不存在两个关键字相同的结点，如果插入这样的新结点，则插入失败
• 3、为什么插入函数的参数是传引用呢？
• 答：插入函数是先从根结点开始遍历，去寻找合适的位置插入，当找到“11结点”时，需要对该结点的右孩子指针进行修改，那他指向先插入的“12结点”，所以需要传引用参数
• 递归插入最坏空间复杂度：O（h）和树高有关

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4.构造

• 如何构造二叉排序树呢？
• 答：实际上就相当于不断插入新结点的过程

• 有时不同的关键字序列 可以得到 相同的二叉排序树
• 但也可能得到不同的二叉排序树

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5.删除

• ① 删除度为0（叶子结点），直接删除

• ② 删除度为1的结点时，让其子树替代即可

• ③ 删除度为2的结点时，有两种补救措施：
• 1、选择直接后继，右子树最左下结点
• 看下图，既然找到的p是最左下结点，那么它一定没有左子树，可知它的度为1
• 那么p被移动到z除，原先的位置空着，这就相当于上面的删除度为1的结点

• 2、选择之前前驱，左子树最右下结点
• 看下图，既然找到的p是最右下结点，那么它一定没有右子树
• 而且此时p的度为0，这就相当于上面的删除度为0的结点，直接删除即可

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6.查找效率分析

• 平衡二叉排序树的查找效率较高
• 自己分析下如何得到最好、最坏情况下的平均查找长度

• 查找失败的平均查找情况：
• 查找失败时，指针会停留在最底下的空链域处

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7.小结

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5.5.2 平衡二叉树（AVL）

1.定义

• 平衡二叉树经常在选择题里考察
• 专有名词：平衡因子 = 左 - 右（-1，0，1）

typdef struct AVLNode{	int key;		// 数据域    int balance;	// 平衡因子    struct AVLNode *lchild, *rchild;	// 左、右孩子指针}

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2.插入

• 当平衡二叉树插入新结点的时候，可能会破坏原本二叉树的平衡，那么就需要去重新调整二叉树，使其恢复平衡
• 解决办法：去调整**“最小”不平衡子树**即可
• 那么怎么找到最小不平衡子树呢？
• 答：以下图举例，才67开始从下往上找，当找到哪个结点的平衡因子不是（-1，0，1）时，也就是找到第一个不平衡结点，这个不平衡结点就是最小不平衡子树的根结点

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3.调整最小不平衡子树A

• 根据新结点插入位置的不同，分成下面四种情况：

1）LL

• 本小结中的A，我们设定是当插入新结点导致不平衡，A就刚好是不平衡子树的根结点，也就是第一个不平衡结点
• 下面分析下下图中的思考题：为什么要假定所有子树（AR，BL，BR）的高度都是H？
  • ① 如果AR为H+1，当BL插入新结点时，A = (H+2) - (H+1) = 1，仍平衡，矛盾
  • ② 如果BR为H-1，此时B = H -（H-1）= 1，BL再插入新结点，B=2，B变成了不平衡因子了
  • 其他情况类似，所以只有当（AR，BL，BR）的高度都为H时，才会发生LL不平衡
• LL调整方法：
• 还是看图吧，解释太麻烦了

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2）RR

• 在A的右孩子的右子树插入导致的不平衡
• LL和RR有点类似，可以搭配对比记忆

// LL情况
// 需要调整的指针：B->rChilde,A->lChild
// p孩子 f父亲 gf爷爷
// 注意下面代码顺序
f->lChild = p->rChild;
p->rchild = f;
pf->child = p;

// RR情况类似，自己看图

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3）LR

• 在A的左孩子的右子树中插入新结点导致不平衡
• 在C的左、右插入新结点，情况都一样
• 左旋 ＋ 右旋

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4）RL

• 在A的右孩子的左子树插入新结点导致不平衡
• 右旋 + 左旋

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5）小小小结

• 只有左孩子才能右旋
• 只有右孩子才能左旋

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6）扩展

• 解释：为什么只要处理最小不平衡子树，整棵二叉树就都平衡了？

• 举例论证

• 结论：插入操作导致“最小不平衡子树的高度+1”，经过平衡处理之后高度恢复

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7）练习

• ①

• ②

• ③

• 做熟练的话就不需要每次都选择去得到平衡二叉树。
• 1、60的左子树 --> 50的右子树
• 2、60的右子树 --> 66的左子树
• 3、60充当根结点，连接50和66（记得把55和66之间的线断掉）

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4.平衡二叉树的查找

• 现在推导高h的平衡二叉树最小有几个结点：

高h	最小结点数n
0	0
1	1
2	2
3	4
4	7
h	n(h-1)+ n(h-2)+ 1 【下面两层加一】

• 一定要记住平衡二叉树最小结点数的递推式
• 通过n(h)的表达式，我们可以得到平衡二叉树的最大深度、树高

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5.小结

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5.5.3 哈夫曼树

1.带权路径长度

• 结点的权：结点里有个权值属性
• 结点的带权路径长度：从根结点到该结点的路径长度 * 权值
• 树的带权路径长度：所有叶结点的带权路径长度之和（注意！！！只算叶子结点）

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2.定义

• 哈夫曼树：带权路径长度（WPL）最小的二叉树

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3.构造

• 构造哈夫曼树的步骤：
  • 1、选权值最小的两个结点
  • 2、在剩下的结点中挑一个最小的结点继续结合；或者挑两个结点先结合
• 哈夫曼树的一些性质：
• ① 结点总数为2 * n -1
• ② 不存在度为1的结点
• ③ 哈夫曼树不唯一

• n个带权的叶子结点 可以 构造出多种不同形态的哈夫曼树

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4.举例

• 使用哈夫曼编码，减少发生二进制位长度

• 再一次压缩，解码出问题了，有歧义

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5.小结

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考研人加油！！！