算法学习|动态规划 LeetCode 1143.最长公共子序列、1035.不相交的线 、53. 最大子序和

一、最长公共子序列

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。
一个字符串的子序列是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
元素之间可以不连续

思路

1.dp[i][j] :以[0,i - 1]的nums1和[0,j - 1]的nums2的最长公共子序列的长度
2.递推公式：
if(nums[i - 1] = nums[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] +1
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j]， dp[i][j - 1])
3.初始化：dp[i][0] = 0 dp[0][j] = 0 其他位置初始化为0
4.遍历顺序：从上到下，从左到右

实现代码

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1,vector<int>(text2.size() + 1, 0));
        for(int i = 1; i <= text1.size(); i++) {
            for(int j = 1; j <= text2.size(); j++) {
                if(text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[text1.size()][text2.size()];
    }
};

二、不相交的线

我们在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 A 和 B 中的整数。
现在，我们可以绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且我们绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。
以这种方法绘制线条，并返回我们可以绘制的最大连线数。

思路

相同元素：找相同子序列
最大连接数：求最长的公共子序列
故此题本质就是求两个数组的最长公共子序列

实现代码

class Solution {
public:
    int maxUncrossedLines(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        vector<vector<int>> dp(nums1.size() + 1, vector<int> (nums2.size() + 1, 0));
        for(int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
            for(int j = 1; j <= nums2.size(); j++) {
                if(nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
                }
            }
        }
        return dp[nums1.size()][nums2.size()];
    }
};

三、最大子序和

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

思路

1.dp[i] ：以nums[i]为结尾的最大连续子序列的和
2.递推公式：dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i]，nums[i])（延续前面的或者从当前开始）
3.初始化：dp[0] = nums[0]
4.遍历顺序：从前往后
最后的结果：遍历一遍所有dp数组，找到最大的和

实现代码

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if(nums.size() == 0) return 0;
        vector<int> dp(nums.size());
        dp[0] = nums[0];
        int result = dp[0];
        for(int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
            if(dp[i] > result)  result =  dp[i];
        }
        return result;
    }
};