斐波那契查找(Fibonacci Search)和折半查找

两个查找算法都是针对有序数组进行查找，不同点在于分界点的取值不同。

算法介绍

折半查找很简单，每次与当前区间的中点进行比较，然后决定查找前一部分还是后一部分。

Fibonacci查找利用了Fibonacci序列每一项等于前两项和的特点进行划分，然后再在前一部分或者后一部分进行查找。

对于一个数组，我们首先将他填充成长度为F[k]-1的数组，其中F[]表示斐波那契数列。为什么非要填充成F[k]-1呢？

我们知道斐波那契数列有如下性质：
$$F[k]=F[k-1]+F[k-2]$$
朴素的想法是我们对区间[l,r)进行划分，其中r-l=F[k]，分界点选择为mid=l+F[k-1](当然我们也可以选择F[k-2]，这取决于数据集中在哪里)。当我们将需要查询的数据x和a[mid]比较以后我们可能需要查询左边或者右边的区间，即[l,mid)或者[mid+1,r)，而这个时候后面那个区间的长度为F[k-2]-1，不再是斐波那契数列。这显然不是我们想要看到的结果。

我们不妨尝试将区间的长度变成F[k]-1，将分界点设置为mid=l+F[k-1]-1,这时我们发现右边的区间的长度将变成F[k-2]-1，仍旧满足这种结构。这样我们就可以递归地进行处理。

我们也可以尝试将区间长度变为F[k]+1，只是这样的话我们就无法将区间长度变为0退出搜索。

实现代码

#include
#include
#include

using namespace std;

int init(int* F,int n)
{
	F[0]=1;
	F[1]=1;
	int ret=2;
	while(1)
	{
		F[ret]=F[ret-1]+F[ret-2];
		if(F[ret]-1>=n)
			break;
		++ret;
	}
	return ret;
}
int FiboSearch(int *a,int *F,int k,int l,int r,int x)
{
	if(r<l) return -1;
	int mid=l+F[k-1]-1;
	if(x==a[mid]) return mid;
	if(x<a[mid])
	{
		return FiboSearch(a,F,k-1,l,mid,x);
	}
	else
	{
		return FiboSearch(a,F,k-2,mid+1,r,x);
	}
}
int main()
{
	int n,k;
	printf("n="); scanf("%d",&n);
	printf("k="); scanf("%d",&k);
	int F[64],len;
	int a[128];
	len=init(F,n);
	for(int i=0;i<n;++i)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	if(k>a[n-1] || k<a[0])
	{
		printf("-1\n");
		return 0;
	}
	printf("%d\n",FiboSearch(a,F,len,0,F[len]-1,k));
	return 0;
}

性能分析

斐波那契查找算法同折半查找一样复杂度都是O(logn)的，不同点在于，当数据是均匀分布的时候折半查找更加优秀，当数据是指数分布的时候斐波那契查找算法更好。