IEEE754浮点数标准

概述

IEEE754标准提供了两种规格的浮点格式：32位单精度格式和64位双精度格式。

符号位：1表示负数，0表示正数

尾数：用原码表示。规格化尾数的第一位总为1，因而缺省第一位的1，称该缺省位为隐藏位。IEEE754规定隐藏位1的位置在小数点之前。

阶码：用移码表示，偏置常数为$2^{n-1}-1$。

前置知识

关于浮点数的“上溢”与“下溢”：

细节

全0阶码 + 全0尾数：+0、-0

全0阶码 + 非0尾数：非规格化数

非规格化数的隐藏位为0，规定单精度和双精度浮点数的阶分别为：-126、-1022（不是-127、-1023！），故浮点数的值分别为：$(-1{)}^s\times 0.f\times 2^{-126}$、$(-1{)}^s\times 0.f\times 2^{-1022}$。

加入非规格化数后，IEEE754单精度浮点数的范围有如下变化：

图中将可表示数以$[2^n,2^{n+1})$的区间分组，同一组内的浮点数的阶均为$n$。对于32位单精度规格化浮点数，尾数有23位，故每个区间内有$2^{23}-1$个数，相邻两数的间隔为$2^{-23}\times 2^n$。在图（a）中我们可以看出，在$0$和最小规格化数$2^{-126}$之间有一个间隙。非规格化数就是在这个空隙中插入了$2^{23}$个附加数，所有非规格化数的阶均为$-126$，尾数部分的变化范围为$0.00\cdots 0\sim 0.11\cdots 1$。

全1阶码 + 全0尾数：$+\infty 、-\infty$

无穷大既可以是操作数，也可以是运算的结果。

当无穷大作为操作数时，系统有如下两种处理方式：

1. 产生不发信号的NaN：$+\infty +(-\infty )$、$+\infty -(+\infty )$、$\infty /\infty$等
2. 产生明确结果：$5+(+\infty )=+\infty$、$(+\infty )+(+\infty )=+\infty$、$5-(+\infty )=-\infty$、$-\infty -(+\infty )=-\infty$等。

全1阶码 + 非0尾数：NaN

NaN（not a number）表示非数，分为发信号和不发信号两种。当尾数最高有效位为1时，表示不发信号的NaN；最高有效位为0时，表示发信号的NaN。

阶码非全0且非全1：规格化非0数

阶码范围为：$1\sim 254$（单精度）、$1\sim 2046$（双精度），所以阶的范围是：$-126\sim 127$（单精度）、$-1022\sim 1023$（双精度）。
$$(-1{)}^s\times 1.f\times 2^{e-127}、(-1{)}^s\times 1.f\times 2^{e-2046}$$

例题

题目1：将十进制数$-0.75$用IEEA754的单精度浮点格式表示。

解：首先将$0.75$用二进制表示，得到$(0.75{)}_{10}=(0.11{)}_2=(1.1\times 2^{-1}{)}_2$。所以该数的阶码为$(-1+127{)}_{10}=(126{)}_{10}=(01111110{)}_2$，所以$-0,75$表示为单精度浮点格式为$101111110100\cdots 00$。