近几年信息学竞赛CSP中常考的排列组合知识点

蒟蒻来讲题，还望大家喜。若哪有问题，大家尽可提！

Hello 大家好啊！我们今天讲一下排列组合！！！

===========================================================================================

目录

近几年排列组合的题（本蒟蒻整理的）

排列组合

计数原理

       分类计数（加法原理）

       分步计数（乘法原理）

       例题

排列

        线排

              捆绑法

              插空法

              定序

        环排

        项链

组合

        特殊元素

        分组问题

        分组分配

        总结

===========================================================================================

首先给大家看一下近几年排列组合的题（本蒟蒻整理的）：

---

2008年普及组

书架上有 4本不同的书 A、B、C、D。其中 A 和 B 是红皮的，C 和 D 是黑皮的。把这 4本书摆在书架上，满足所有黑皮的书都排在一起的摆法有_____种。满足 A 必须比 C 靠左，所有红皮的书要摆放在一起，所有黑皮的书要摆放在一起，共有______种摆法。

2010年普及组

队列快照是指在某一时刻队列中的元素组成的有序序列。例如，当   元素 1,2,3入队，元素 1出队后，此刻的队列快照是2,3。当元素2,3 也出队后，队列快照是""，即为空。现有3 个正整数元素依次入队、出队。已知它们的和为 8，则共有_________种可能的不同的队列快照（不同队列的相同快照只计一次）。例如，"5,1"、"4,2,2"、""都是可能的队列快照；而"7"不是可能的队列快照，因为剩下的 2 个正整数的和不可能是 1。

2012年普及组

在 NOI 期间，主办单位为了欢迎来自各国的选手，举行了盛大的晚宴。在第十八桌，有 5名大陆选手和 5名港澳选手共同进膳。为了增进交流，他们决定相隔就坐，即每个大陆选手左右旁都是港澳选手，每个港澳选手左右旁都是大陆选手。那么，这一桌一共有_______种不同的就坐方案。

注：如果在两个方案中，每个选手左右相邻的选手相同，则视为同一种方案。

2013年普及组

7 个同学围坐一圈，要选 2个不相邻的作为代表，有_________ 种不同的选法。

2014年普及组

把 M个同样的球放到 N个同样的袋子里，允许有的袋子空 着 不放问共有多少种不同的放置方法？(用 K 表示)。

例如，M=7,N=3 时，K=8；在这里认为 (5,1,1) 和 (1,5,1)是同一 种放置方法。 问：M=8,N=5时，K=______

2015年普及组

重新排列1234 使得每一个数字都不在原来的位置上，一共有 __种排法。

2016年普及组

1. 从一个 4×4 的棋盘（不可旋转）中选取不在同一行也不在同一列 上的两个方格，共有_______种方法。
2. 有7个一模一样的苹果，放到3个一样的盘子中，一共有（）种放法。

2017年普及组

甲、乙、丙三位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门， 乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ）种。

2018年普及组

从1到2018这2018个数中，共有__________个包含数字8 的数。

2019年普及组

1. 把8个同样的球放在5个同样的袋子里，允许有的袋子空 着 不放，问共有多少种不同的分法？

提示：如果8个球都放在一个袋子里，无论是哪个袋子，都只 算同一种分法。

2. —些数字可以颠倒过来看，例如0,1,8颠倒过来还是本身，6颠 倒过来是9，9颠倒过来看还是6，其他数字颠倒过来都不构 成数字。类似的，一些多位数也可以颠倒过来看，比如106颠 倒过来是901。假设某个城市的车牌只由5位数字组成，每一 位都可以取0到9。请问这个城市最多有多少个车牌倒过来恰 好还是原来的车牌？（）

2020年普及组

1. 5 个小朋友并排站成一列，其中有两个小朋友是双胞胎，如果 要求这两个双胞胎必须相邻，则有（ ）种不同排列方法?

2. 10 个三好学生名额分配到7个班级，每个班级至少有一个 名额，一共有（ ）种不同的分配方案。

3. 有五副不同颜色的手套（共10只手套，每副手套左右手各 1只），一次性从中取6只手套，请问恰好能配成两副手套的 不同取法有（ ）种。

2021年普及组

1. 6 个人，两个人组一队，总共组成三队，不区分队伍的编号。 不同的组队情况有（ ）种。

2. 由1,1,2,2,3这五个数字组成不同的三位数有（ ）种。

大家不难发现，近几年排列组合的题越来越多，所以今日本蒟蒻来讲一讲！

排列组合

---

计数原理

计数原理主要分两个板块分类计数（加法原理）和分步计数（乘法原理）！

       分类计数（加法原理）

                加法原理，顾名思义，就是相加呗！而只有当一个问题需要分类求解时，才会用加法原理！

       分步计数（乘法原理）

                乘法原理，顾名思义，就是相乘呗！而只有当一个问题需要分步求解时，才会用乘法原理！

                理论说完了，不懂的话，那就看例题吧！

       例题

                例1：0,1,2,3,4,5这五个数字组成一个三位数，有多少个？。

                想必有些人是这么做的：

                这样就是第一位不能为0，所以就是5个里选1个，然后第二位还剩5个数，最后第三位填时只剩4个数，所以是四

                个里选一个！

                看似很对，但其实是错的！

                为什么呢？因为题目中三位数并没有说数字不能重复，就比如说211，这也是三位数！而刚才算的是每一位不重

                复的三位数！

                所以应该是这样的：

                所以我们在做题的时候一定要注意细节，这道题就是典型的也是最简单的一到乘法原理的题！

                例2: 0,1,2,3,4,5组成一个不同不重复的三位偶数，有多少种组法？

                我想有一部分人会这么做：

                这样就是最后有三种可能0,2,4，而第一位就是去了0，就剩5个数，第二位再加上0，还是5个数可以选。

                感觉可以，实则不对

                最后一位如果不是0的话那你前面第一位还是吗？

                所以，我们这时候就要用到分类了！

                当0在末尾时：（就是第一位可以选1,2,3,4,5,第二位可以选第一位选完剩下的）

                当0不在末尾是：（最后一位只能选2或4，第一位则只可以选剩下的4个，第二位也是四个因为

                加上了0）

                最终答案就是：

                这就是一道既有乘法原理的题，又有加法原理的题！

排列

排列就主要分为线排，错排，圆排，项链排。

        线排

                线排主要就是按行排列！

                例题1：7个人排队，甲不站在队首。

                这道题显然是很简单的：

                甲不站在队首有6种可能，然后剩下的人全排列就行了！

                例题2：7个人排队，甲不站在队首，乙不站在队尾。

                这道题就要想一想了！

                如果甲加站在队尾，那么乙便有6种选择，然后剩下的人全排列。

                如果甲不站在队尾，那么甲有5种选择，乙也有5种选择，然后剩下的人全排列。

                所以这道题就是：

              捆绑法

                顾名思义，就是把几个人捆一块，那什么时候用呢？当求谁和谁相邻的问题时！

                例题：7个人排队，甲乙丙相邻，有几种排法？

                这就用到捆绑法了！

                把甲乙丙3人看成1人，然后进行全排列，别忘了！甲乙丙三人也需要全排列！

                所以这道题就是：

              插空法

                插空法就是解决不相邻的时候用，下面几个例题说明！

                例题：7个人排队，甲乙不相邻，有几种排法？

                我们用图来表示：

                

                我们可以发现有6个空位可以选，这样就可以使甲乙不相邻，但不要忘记甲和乙可以互换！所以是：

                所以最终是：

              定序

                定序就是按一定的顺序排列。

                例题：七个人排队，甲比乙位置靠前，乙比丙位置靠前，问有几种排列方法？

                这个题我们就可以用插空法，我们知道甲乙丙位置是可以固定的，所以我们要给剩下的人插进去。但是大家一

                定要注意：插完一个人之后会再多一个空！

                 看到了没有？所以本题应是：

        环排

         环排就是围成一个圆来坐。

                例题：6个人排成一个圆，有几种排列方式？

                大家可能觉得是：

                但肯定不是的，要不不就和线排一样了么？

                大家请看，这几个做法是不是一样的，但是中却多算了6个1的位置，所以我们要除以六，大家也可以认为是

                让1的位置不变，然后就是！

        项链

         项链就是可以翻转，你想一想你带项链的时候是不是正着戴和反着戴一个样？

         所以我们就在环排的基础上再除以2就行了！

组合

        特殊元素

                特殊元素问题相信大家一看例题就懂了！

                例题：一个班有30个人，选四人参加参加比赛，甲必须参加。

                        相信这个题对大家来说已经不是困难了！

                        答案就是：

                        像这样的题，就是特殊元素问题！

        分组问题

                例题1:7本不同的数，分成4本，2本，1本三堆，有几种分法？

                这道题也是相当的简单了：

                例题2：6本不同的数，分成2本，2本，2本三堆，有几种分法？

                         这道题就有一点意思了！

                         有些人可能会说：

                         但其实根本就不是这样！

                         大家可以想一下，你和我分组，我分第一组，你分第二组和我分第二组，你分第一组，光算组合其实是一

                        样的！

                        这道题我们就要平均分了，要除以多少呢，就是重复的全排列。

                        所以就是：

        分组分配

                分组分配最重要的就是：先分组，再分配！

                例题：4个人分到3个工厂，每个工厂至少1人，有多少种分法？

                        这道题就是先分给3个工厂，这里就只能一个2人其余的1人。

                        所以，我们先选出来，然后就完事了么？不不不！别忘了平均分在除以，还得乘让这

                        几个人进行排序！

                       最终就是：

        总结

                最后我们用球盒问题来总结一下！

                1. 球不同，盒不同这就是我们的分组分配问题！

                2. 球相同，盒不同这就用我们学的隔板法！

                3. 球不同，盒相同这就是纯分组问题！

                4. 球相同，盒相同这就是我们的分类加法！

今天的排列组合就到这里了，喜欢的点个赞谢谢！